| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − |
| |
| − | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
| |
| − |
| |
| − | '''Исполнитель:''' [[Фомичева Мария]]
| |
| − |
| |
| − | '''Группа:''' [[Группа 10|10]] (43604/1)
| |
| − |
| |
| − | '''Семестр:''' осень 2017
| |
| − |
| |
| | == Введение == | | == Введение == |
| | | | |
| − | [[Файл:Материал для определения упругих модулей.png|thumb|Рис.1. Исследуемый материал]]
| + | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов. |
| − | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств разных материалов. Эти исследования позволяют определить поведение материала при различных деформациях и напряжениях. | |
| − | | |
| − | В данной работе проводится исследование материала на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Пример материала, для которого производились расчеты, показан на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия: левая грань материала фиксируется, правая грань растягивается вдоль горизонтально оси, все остальные грани - свободные.
| |
| − | | |
| − | == Алгоритм компьютерного эксперимента ==
| |
| − | | |
| − | Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
| |
| − | | |
| − | ''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
| |
| − | При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством нахождения
| |
| − | радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
| |
| − | ведется методом центральных разностей. Данный метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
| |
| − | во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости
| |
| − | вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
| |
| − | | |
| − | <math>\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,</math>
| |
| − | | |
| − | где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
| |
| − | вычисляется через приложенную к частице силу.
| |
| − | Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.
| |
| − | | |
| − | ''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
| |
| − | соседние с ним атомы. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
| |
| − | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
| |
| − | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
| |
| − | <math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
| |
| − | положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
| |
| − | где <math>\underline{r}_i</math>
| |
| − | – радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
| |
| − | частицы (<math>\alpha</math>).
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.
| |
| − | | |
| − | В трехмерном материале коэффициенты упругости
| |
| − | определяются через следующие выражения:
| |
| − | | |
| − | <math> \begin{array}{l}
| |
| − | \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
| |
| − | \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
| |
| − | \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
| |
| − | \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
| |
| − | \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
| |
| − | \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
| |
| − | \end{array}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Модули упругости выражаются формулами:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
| |
| − | E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
| |
| − | </math> где
| |
| − | <math> E </math> - модуль Юнга,
| |
| − | <math>\nu </math> - коэффициент Пуассона
| |
| − | | |
| − | == Компьютерный эксперимент с конкретным материалом ==
| |
| − | | |
| − | При компьютерном эксперименте был рассмотрен изотропный материал со следующими параметрами:
| |
| − | | |
| − | Расстояние между частицами - <math>d = 0.33,</math>
| |
| − | | |
| − | Количество частиц - <math> N = 8000,</math>
| |
| − | | |
| − | Радиус обрезания - <math> A_c = 1.3</math>
| |
| − | | |
| − | Масса частиц, жесткость частиц и длина ребра материала приняты равными единице.
| |
| − |
| |
| − | При растяжении такого материала упругие модули получаются следующими:
| |
| − | <math>E/E* = 0.808,</math> где <math> E/E*</math> - обезразмеренный модуль Юнга
| |
| − | | |
| − | <math>\nu = 0.396</math>
| |
| | | | |
| − | ==Ссылки==
| + | В данной работе вычисление модулей упругости кристаллических решеток ведется аналитически и с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД). В данной работе рассматриваются только два модуля - коэффициент Пуассона и модуль Юнга. |
| − | *Автор проекта: [[ Фомичева Мария]]
| |
| − | *[[Виртуальная лаборатория]]
| |
