Задача 37.44 из сборника задач Мещерского
Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать движение махового колеса.
Реализация при помощи JS
Условие задачи
Для определения момента инерции [math]J[/math] махового колеса [math]A[/math] радиуса [math]R[/math] относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю B массы [math]M_{1}[/math] и наблюдали продолжительность [math]T_{1}[/math] опускания гири с высоты [math]h[/math]. Для исключения трения в подшипниках проделали второй опыт с гирей массы [math]M_{2}[/math], причем продолжительность опускания оказалась равной [math]T_{2}[/math] при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить момент инерции [math]J[/math].
Решение
Согласно теореме об изменении момента количества движения системы:
[math]\frac{dK}{dt}=\sum\limits_{i} M_{i}[/math]
Тогда
[math]\frac{d(J_{A}{ \omega}+M_{1}v_{B}R)}{dt}=M_{1}gR-m_{тр}[/math], где
[math]m_{тр}=const - [/math]момент силы трения
Поскольку [math]{ \omega}=\frac{v_{B}}{R}[/math], то
[math]\frac{dv_{B}}{dt}(\frac{J_{A}}{R}+M_{1}R)=M_{1}gR-m_{тр}[/math], и
[math]\frac{dv_{B}}{dt}=w_{1}=\frac{M_{1}gR-m_{тр}}{\frac{J_{A}}{R}+M_{1}R}[/math]
Аналогично для второго груза:
[math]\frac{dv_{B}}{dt}=w_{2}=\frac{M_{2}gR-m_{тр}}{\frac{J_{A}}{R}+M_{2}R}[/math]
Заметим, что полученные ускорения [math]w_{1}[/math] и [math]w_{2}[/math] не зависят от времени, т.е. [math]w_{1,2}=const[/math]. Движение равноускоренное, а значит
[math]h=\frac{w_{1}T_{1}^2}{2}[/math]; [math]w_{1}=\frac{2h}{T_{1}^2}[/math]
[math]h=\frac{w_{2}T_{2}^2}{2}[/math]; [math]w_{2}=\frac{2h}{T_{2}^2}[/math]
В результате получим систему уравнений:
[math]\frac{2h}{T_{1}^2}(\frac{J_{A}}{R}+M_{1}R)=M_{1}gR-m_{тр}[/math]
[math]\frac{2h}{T_{2}^2}(\frac{J_{A}}{R}+M_{2}R)=M_{2}gR-m_{тр}[/math]
вычитая из первого уравнения второе получим
[math]2h(\frac{\frac{J_{A}}{R}+M_{1}R}{T_{1}^2}-\frac{\frac{J_{A}}{R}+M_{2}R}{T_{2}^2})=(M_{1}-M_{2})gR[/math]
Отсюда
[math]J=J_{A}=R^2(\frac{\frac{g}{2h}(M_{1}-M_{2})-(\frac{M_{1}}{T_{1}^2}-\frac{M_{2}}{T_{2}^2})}{\frac{1}{T_{1}^2}-\frac{1}{T_{2}^2}})[/math]
