Редактирование: Ольга Бразгина: Моделирование деформирования твердых гранулированных частиц: влияние формы на деформационное поведение

== Описание == 

Данная работа выполняется в рамках [[Гамбургский проект | Гамбургского проекта]] при поддержке стипендиальной программы "Леонард Эйлер" немецкой службы академических обменов (DAAD).

== Участники == 

Стипендиат: О. Бразгина

Руководители со стороны СПбГПУ: [[А.М. Кривцов]], [[В.А. Кузькин]] 

Руководители со стороны TUHH: S. Heinrich, S. Antonyuk 

== Аннотация ==

Зачастую форма гранулированных частиц существенно отличается от сферической. Существующие на данный момент аналитические модели контактного взаимодействия не позволяют учитывать многие особенности деформирования, ограничиваясь лишь наиболее простыми предположениями. 
[[Файл:tio2.jpg|400px|thumb|right|Изображения гранул диоксида титана, полученные в TUHH[2]]] 
В частности, не существует теории, описывающей более сложную по сравнению со сферической геометрию частицы. Численное моделирование, а именно моделирование методом конечных элементов, предоставляет большое поле деятельности путем простого варьирования различных параметров модели, учет тех или иных необходимых свойств, что несравнимо сложнее при аналитическом подходе. Поэтому рассмотрение влияния геометрии частиц путем численного моделирования является необходимым. 
Моделирование деформационного поведения частиц эллипсоидальной формы позволяет более точно описать отклик частиц неправильной формы, т.к. частиц эллипсоидальной формы являются наиболее простыми несферическими частицами. Моделирование частиц, обладающих внутренней полостью, необходимо для оценки ее прочностных характеристик, которые накладывают ограничение на использование таких гранул.

В данной работе рассматривается упругое, упругопластическое деформирование и разрушение частиц эллипсоидальной формы, а также частиц, обладающих внутренней полостью, определяются зависимости откликов для частиц несферической формы от отклика частиц сферической формы, анализируются критические параметры разрушения частиц.

== Моделирование сжатия гранул эллипсоидальной формы ==

При различном соотношении полуосей эллипсоида a и b проведено моделирование в конечно-элементном пакете ABAQUS 6.11-2. Радиус сферической частицы был задан равным 25 мкм, полуоси частиц для других экспериментов были заданы таким образом, чтобы объем частиц был одинаковым и совпадал с объемом сферы. При этом соотношения полуосей <math>a/b</math> менялось от 1 (соответствует сфере) до 0.5. Материал принят изотропно-упругим (<math>E=230</math> МПа, <math>\nu=0.3</math>)[1], коэффициент трения между частицей и обкладкой принят равным <math>\mu=0.3</math>. Результаты, полученные для сферической частицы, как показано ранее, близки к аналитическому решению задачи Герца ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B2%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F Механика контактного взаимодействия]). Задача решалась в трехмерной постановке, построенная сетка конечных элементов имеет сгущение вблизи области контакта частицы и сжимающей обкладки.
{|align="center"

 |[[Файл:Ellipsoid.jpg|300px|thumb|right| Эллипсоидальная частица в горизонтальном положении]] 
 |[[Файл:Ellipsoid_vert.jpg|180px|thumb|right| Эллипсоидальная частица в вертикальном положении]]
 |}

В ходе решения статической задачи были получены поля перемещений, напряжений, а также значения силы контактного взаимодействия. Качественно распределение полей напряжений в эллипсоиде соответствует решению задачи Герца, однако силы, полученные в данном случае несколько отличаются от решения упругой задачи: силы при сжатии эллипсоида несколько больше сил, полученных при сжатии частицы сферической формы, при сжатии частицы в горизонтальном положении, и меньше - в вертикальном. Кроме того, прослеживается зависимость изменения силы от соотношения полуосей эллипсоида.

{|align="center"
 |[[Файл:ell_compare.jpg|500px|thumb|right| Зависимость силы F от перемещения s для частицы в горизонтальном положении]] 
 |[[Файл:ell-vert-compare.jpg|530px|thumb|right| Зависимость силы F от перемещения s для частицы в вертикальном положении]]
 |}

Для аналитического описания силы сжатия частицы эллипсоидальной формы в обоих случаях были построены соотношения, описывающие связь силы сжатия эллипсоида и силы сжатия сферической частицы. В случае горизонтально расположенной частицы она определяется выражением:

<math>
F_N = F_{sphere}\left[1+\left(12.5  \frac{s}{D_{sphere}}+0.93\right)\left(1-\frac{a}{b}\right)^{1.5}\right],
</math>

а в случае вертикально расположенной - 

<math>
F_N = F_{sphere}\left[1+1.6\left( \frac{s}{D_{sphere}} \right) ^{0.17}\left(1-\frac{a}{b}\right)\right].
</math>

Для проверки полученных зависимостей проведено моделирование с целью исследования влияния материальных и геометрических параметров модели. Отмечено небольшое влияние коэффициента Пуассона на отклик частицы. Результаты моделирования, полученные при различных значениях этого коэффициента. Максимальное отличие данных, полученных в ходе моделирования и при аппроксимации - всего 6% - получено при значении коэффициента Пуассона <math>\nu = -0.25</math>.

== Моделирование сжатия гранул с внутренней полостью ==
В ходе работы рассмотрена задача деформирования частиц с внутренней полостью.
[[Файл:hollow_compr.jpg|150px|thumb|right| Схематичное изображение деформируемой гранулы]] 
При деформировании одна из плоскостей (нижняя) принималась неподвижной, для второй было задано перемещение относительно начального положения.

При различном отношении внутреннего радиуса <math>R_2</math> к внешнему радиусу <math>R_1</math> проведено моделирование в пакете ABAQUS 6.11-2. Радиус сферической частицы был задан равным 25 мкм, внутренний радиус варьировался от полной частицы (<math>{R_2}/{R_1}=0</math>) до тонкостенной гранулы (<math>{R_2}/{R_1}=0.95</math>) и аналогичной оболочки. При решении материал также принят изотропно-упругим, с теми же свойствами, что и в предыдущей задаче.

В ходе решения ряда задач были построены поля напряжений и деформаций, а также зависимости сил сжатия от перемещения при различных соотношениях радиусов.
[[Файл:stress.PNG|500px|thumb|left| Распределение полей напряжений в грануле с соотношением радиусов <math>{R_2}/{R_1}=0.8</math>]]

Заметим, что максимум интенсивности напряжений по Мизесу в случае полой гранулы, в отличие от полной, смещен относительно центра. Это связано с влиянием растягивающих напряжений по внутренней полости сферы перпендикулярно направлению сжатия.

Было сделано предположение об экспоненциальном убывании данной функции, причем таким образом, чтобы она обращалась в 0 при совпадающих внутреннем и внешнем радиусах. Была найдена зависимость силы сжатия полой сферы от силы сжатия полной сферы:

<math>
F_N = F_{sphere}\left[1-e^{-b\left( \frac{R_2}{R_1}-1\right)}\right], 
</math>

<math>
b =1.3+1.69\left(\frac{s}{D_1}\right)^{-0.35}.
</math>

Для верификации этой зависимости было исследовано влияние других параметров на данную зависимость. В данном случае также обнаружено влияние коэффициента Пуассона, причем зависимость силы сжатия полой гранулы от силы сжатия полной частицы оказалась несколько более чувствительной к изменению коэффициента Пуассона. Отметим, что в случае сфер с внутренним радиусом <math> R_2 = 0.8 R_1 </math> изгиб этой функции не соответствует закону Герца,  поэтому ее описание посредством модели Герца дает большие погрешности.

Вследствие чего было проведено дальнейшее исследование и обнаружено, что зависимости силы от перемещения для тонкостенных частиц близка к линейной.
Численно определена жесткость контакта таких гранул как 

[[Файл:k(s)_shell.jpg|400px|thumb|right| Жесткость тонкостенных гранул]]

<math>
k=\frac{dF}{ds}.
</math>

Исследовав влияние различных параметров модели, была получена формула жесткости контакта полых гранул:

<math>
k=\frac{E}{1-\nu^2} R_1\left(1-\frac{R_2}{R_1}\right)^2.
</math>

Тогда зависимость силы и перемещения определяется соотношением:

<math>
F =k s= \frac{E}{1-\nu^2} R_1\left(1-\frac{R_2}{R_1}\right)^2 s.
</math>

Данная зависимость является необходимой для дальнейшего моделирования процессов взаимодействия совокупности гранулированных частиц и протекания производственных процессов методами дискретных элементов. Кроме того, она не содержит никаких дополнительных коэффициентов, а только лишь геометрические и материальные параметры частицы, что немаловажно.

==Моделирование разрушения ==
[[Файл:brazil-scheme.jpg|300px|thumb|right| Схема бразильского теста]]
Бразильский тест - это задача по определению прочностных характеристик материала на растяжение. Он представляет собой сжатие цилиндрического образца вдоль диаметра с последующим измерением нагрузки, при которой наступает разрушение образца.

Проведено моделирование разрушения полых гранул диоксида титана в соответствии с материальными свойствами диоксида титана. При описании разрушения использовался метод XFEM. Предел прочности на растяжение был задан равным 100 МПа.

Данное моделирование проведено для проверки адекватности метода XFEM при моделировании роста трещин в образце. Кроме того, в ходе решения этой задачи была определена возможность разбиения деформируемого тела теми или иными конечными элементами. Обнаружено, что, например, разбиение тетраэдрическими элементами дает неадекватный результат: при использовании линейных тетраэдрических элементов начинается всесторонний рост трещин, а при использовании квадратичных гексагональных --- рост трещин при сжатии образца не начинается при сколь угодно больших деформациях. Но поскольку при сжатии образца в одном направлении он растягивается в другом, должно происходить разрушение.

Наиболее подходящим оказался линейный гексагональный тип конечных элементов.
В данном случае рост трещин, полученных при моделировании, адекватен и соответствует известному решению задачи. Определение возникновения зародыша трещины производится визуально.
Аналогичные результаты были получены ранее в TUHH методом дискретных элементов и при проведении моделирования методом динамики частиц.

{|align="center"
 |-valign="top"
 |[[Файл:brazil-photo.jpg|225px|thumb|right| Натурный эксперимент]] 
 |[[Файл:ant-crack.jpg|300px|thumb|right| Результаты моделирования методом дискретных элементов[3]]]
 |[[Файл:asonov-crack.jpg|190px|thumb|right| Результаты моделирования методом динамики частиц[4]]] 
 |[[Файл:crack.jpg|210px|thumb|right| Результаты моделирования методом XFEM]] 
 |}

Далее с помощью данной методики проведено моделирование сжатия эллипсоидальных частиц с заданным пределом прочности (300 МПа).
Суммирую результаты для сжатия горизонтально и вертикально расположенной частицы по норме в евклидовом пространстве, мы получаем максимальное значение для частиц с соотношениями полуосей <math>a/b = 0.5-0.7</math> (итоговые силы от 79 до 89 мН), для сферической частицы значение оказалось минимальным (50 мН). Значение силы для частиц с соотношениями полуосей <math>a/b = 0.8-0.9</math> - 61 и 62 мН соответственно.
То есть при необходимости максимизации прочностных характеристик частицы эллипсоидальной формы являются более оптимальными.
Тем более в случае, когда предполагается, в основном, статическое деформирование гранул и наиболее вероятное ее положение - горизонтальное, вследствие чего гранулы несферической формы в данном случае являются более прочными.

При моделировании сжатия гранул с внутренней полостью обнаружено, что наличие даже небольшой полости существенно изменяет прочность частицы. Сила, необходимая для разрушения частицы с полостью радиусом <math>0.2R_1</math>, в 1.25 раз меньше силы, требуемой для разрушения сплошной частицы. При увеличении размера полости отклик частицы и критические значения разрушения меняются не столь существенно.

==Результаты==

В данной работе проведено конечно-элементное моделирование деформирования упругих частиц, сжимаемых недеформируемыми плоскостями. Рассмотрены частицы с геометрией, отличной от идеальной сферической частицы: частицы эллипсоидальной формы и сферические частицы с внутренней полостью.

Решена тестовая задача для упругой частицы, в которой проведено сравнение численных расчетов и аналитического решения задачи Герца, а также результатов расчетов в различных конечно-элементных пакетах между собой.

При моделировании частиц в форме двухосного эллипсоида проведено сжатие в направлении обеих осей, определены зависимости сил от перемещений, построены поля напряжений. При этом вид деформационной кривой соответствует решению задачи Герца. Аппроксимирована зависимость, позволяющая аналитически определить решение задачи контактного сжатия эллипсоидального тела с жесткой поверхностью путем уточнения решения соответствующей задачи для сферической частицы. Данные зависимости проверены на влияние всех геометрических и материальных параметров модели, существенных погрешностей при расчете не выявлено. Максимальные погрешности, полученные в ходе варьирования параметров модели, не превышают 5%, вследствие чего использование выведенных формул позволяет проводить моделирование процессов с помощью полученных соотношений и верификацию экспериментальных данных с учетом известной геометрией частицы.
Проведено сравнение с экспериментальными результатами, в ходе которого выявлено, что на протяжении всего деформирования вплоть до первичного разрушения деформационная кривая сжатия эллипсоида лучше соответствует экспериментальным результатам, чем модель Герца.

При моделировании сжатия частицы, обладающей внутренней полостью, также построены деформационные кривые и поля напряжений, аппроксимирована зависимость, позволяющая определить решение задачи путем уточнения решения задачи Герца. Обнаружено, что для тонких сферических частиц зависимость силы от перемещения близка к линейной. Была определена жесткость моделируемых частиц и исследовано влияние различных параметров модели. Получено соотношение, позволяющее определить жесткость полых сферических частиц в зависимости от толщины стенки, которая играет важную роль для дальнейшего моделирования взаимодействия частиц.

В ходе работы решен ряд задач о разрушении частиц. Для проверки методики моделирования проведен бразильский тест, полученные результаты которого хорошо согласуются с полученными другими методам. Определены критические параметры разрушения для эллипсоидальных и полых частиц при различном соотношении геометрических параметров.

Полученные результаты играют важную роль при дальнейшем моделировании взаимодействия совокупности частиц и для подбора оптимальных геометрических и прочностных характеристик с учетом необходимых свойств гранул.

Результаты данной работы представлены в качестве одного из докладов конференции [http://www.sheffield.ac.uk/agglom/2013 The 6th International Granulation Workshop].

== Литература ==
1.CRC Materials Science and Engineering Handbook, Third Edition. Edited by James F. --- Boca Raton: Shackelford and William AlexanderCRC Press, 2000, P.1959.

2. S. Kozhar, S. Antonyuk, S. Heinrich, L. Gilson and U. Brockel. Experimentally calibrated contact models for micrometer-sized particles // 7th International Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids --- CHoPS. --- September, 2012.

3. Antonyuk S., Palis S. and Heinrich S. Breakage behaviour of agglomerates and crystals by static loading and impact // Powder Technology. --- 2011. №206. Pp. 88--98.

4. Асонов И.Е., Моделирование процессов деформирования и разрушения хрупких материалов методом динамики частиц // СПб. --- 2010.

== См. также ==
*[[Бразгина Ольга]]
*[[Гамбургский проект]]

[[Category: Студенческие проекты]]