Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Ян (обсуждение | вклад) |
Ян (обсуждение | вклад) (→Постановка задачи) |
||
| (не показана 21 промежуточная версия 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
| − | Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[ | + | Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[0\ldots 1\right]</math> |
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math> | :<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math> | ||
С граничными условиями | С граничными условиями | ||
:<math> \begin{cases} | :<math> \begin{cases} | ||
| − | T(0,t) = T0(t)= | + | T(0,t) = T0(t)=cos2t*0.5 \\ |
| − | T(1,t) = T1(t)= | + | T(1,t) = T1(t)=sin2t*0.5 |
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
и начальным распределением температуры | и начальным распределением температуры | ||
| − | :<math>T(x,0) = T0(x)= | + | :<math>T(x,0) = T0(x)=10х</math> |
| − | |||
==Реализация== | ==Реализация== | ||
| − | === | + | ===Явная конечно разностная схема=== |
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. | Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. | ||
| − | Запишем исходное уравнение в виде | + | Запишем исходное уравнение в виде: |
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math> | :<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math> | ||
| − | Введем | + | Введем сетку <math>0 < x_i < 1</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math> |
| − | Построим явную | + | Построим явную конечную разностную схему: |
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math> | :<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math> | ||
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле. | Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле. | ||
| + | Так как схема трехслойная, то вначале надо иметь уже вычисленные значения функции <math>{T_{i}^{n}}</math> на первом и нулевом слоях. | ||
| + | |||
| + | При <math>{i=0}</math>,<math>{i=1}</math> значения функции определяются из краевых условий. | ||
==Компьютерная реализация== | ==Компьютерная реализация== | ||
| − | Скачать программу [[:File: | + | Скачать программу [[:File:1d_yan.rar]] |
| − | |||
==Результаты== | ==Результаты== | ||
| − | [[File: | + | [[File:Безымянный23.jpg|thumb|720px|left]] |
| − | [[File: | + | [[File:Безымянный233.jpg|thumb|720px|center]] |
| − | + | *При малом числе узлов в сетки, для данной многопроцессовой реализации, время расчета увеличивается. | |
| − | + | *При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода. | |
| − | |||
==Полезные ссылки== | ==Полезные ссылки== | ||
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности] | [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности] | ||
Текущая версия на 10:50, 18 января 2016
Содержание
Постановка задачи[править]
Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке
С граничными условиями
и начальным распределением температуры
Реализация[править]
Явная конечно разностная схема[править]
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. Запишем исходное уравнение в виде:
Введем сетку с шагом разбиения . Шаг по времени назовем Построим явную конечную разностную схему:
Где, — значение температуры в -ом узле. Так как схема трехслойная, то вначале надо иметь уже вычисленные значения функции на первом и нулевом слоях.
При , значения функции определяются из краевых условий.
Компьютерная реализация[править]
Скачать программу File:1d_yan.rar
Результаты[править]
- При малом числе узлов в сетки, для данной многопроцессовой реализации, время расчета увеличивается.
- При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода.
