Редактирование: Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
С граничными условиями | С граничными условиями | ||
:<math> \begin{cases} | :<math> \begin{cases} | ||
| − | T(0,t) = T0(t)= | + | T(0,t) = T0(t)=cos(2t)+0.5 \\ |
| − | T(1,t) = T1(t)= | + | T(1,t) = T1(t)=sin(2t)+0.5 |
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
и начальным распределением температуры | и начальным распределением температуры | ||
| − | :<math>T(x,0) = T0(x)= | + | :<math>T(x,0) = T0(x)=36.6x</math> |
| + | |||
==Реализация== | ==Реализация== | ||
| − | === | + | ===Конечно-разностная схема=== |
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. | Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. | ||
| − | Запишем исходное уравнение в виде | + | Запишем исходное уравнение в виде |
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math> | :<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math> | ||
| − | Введем сетку <math>0 < x_i < | + | Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math> |
| − | Построим явную | + | Построим явную конечно-разностную схему: |
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math> | :<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math> | ||
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле. | Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле. | ||
| − | |||
| − | + | ==Компьютерная реализация== | |
| + | Скачать программу [[:File:Heat_Equation_Yan.zip]] | ||
| − | |||
| − | |||
==Результаты== | ==Результаты== | ||
| − | [[File: | + | [[File:Безымянный1.jpg|thumb|720px|left]] |
| − | [[File: | + | [[File:Безымянный.jpg|thumb|720px|center]] |
| − | *При | + | |
| + | *При уменьшении числа узлов в сетки, для данной реализации, время расчета увеличивается. | ||
*При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода. | *При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода. | ||
==Полезные ссылки== | ==Полезные ссылки== | ||
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности] | [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности] | ||
