Редактирование: Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс

==Постановка задачи==
Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[a\ldots b\right]</math>
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math>
С граничными условиями 
:<math> \begin{cases}
   T(0,t) = T0(t)=cos2t*0.5 \\
   T(1,t) = T1(t)=sin2t*0.5
 \end{cases}</math>
и начальным распределением температуры
:<math>T(x,0) = T0(x)=10х</math>

==Реализация==
===Явная конечно разностная схема===

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
Запишем исходное уравнение в виде:
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>

Введем сетку <math>0 < x_i < 1</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
Построим явную конечную разностную схему:
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math>
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
Так как схема трехслойная, то вначале надо иметь уже вычисленные значения функции <math>{T_{i}^{n}}</math>  на первом и нулевом слоях.


При <math>{i=0}</math>,<math>{i=1}</math> значения функции определяются из краевых условий.

==Компьютерная реализация==
Скачать программу [[:File:1d_yan.rar]]

==Результаты==
[[File:Безымянный23.jpg|thumb|720px|left]]
[[File:Безымянный233.jpg|thumb|720px|center]]
*При малом  числе узлов в сетки, для данной многопроцессовой реализации, время расчета увеличивается. 
*При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода.

==Полезные ссылки==
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности]