Обратный каскад энергии (двумерная турбулентность)
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Переход энергии с микро на макро уровень (и обратно) - одно из фундаментальных физических явлений. В данной работе,на примере двумерных турбулентных вихрей, рассматривается случай перехода с мелкомасштабного механического движения на крупномасштабное. В литературе это явление обычно упоминается как “обратный каскад” энергии. Построенная модель позволяет исследовать переход энергии с микро на макро уровень и корреляции скоростей в дискретной среде.
Модель представлена набором взаимодействующих частиц с случайными начальными скоростями. Частицы взаимодействуют за счет отталкивающих потенциальных и диссипативных сил. Динамика взаимодействия описана набором уравнений движения Ньютона:
где m, r - масса и радиус вектор i-ой частицы, - отталкивающая потенциальная и диссипативная силы соответственно.
Выражения для потенциальной и диссипативной сил:
где - радиус обрезания, - энергетические параметры системы, - коэффициент вязкости.
Диссипативные силы уменьшают полную энергию системы. Таким образом, без внешнего добавления энергии система перейдет в состояние равновесия. В данной модели энергия добавляется при помощи термостата Берендсена. Скорости частиц на каждом шаге по времени перемножаются на параметр :
где - температура среды
Программа
Частички расположены впритык друг к другу и образуют прямоугольную решетку. С помощью написанной программы можно изменять количество шаров, коэффициент вязкости и температуру в среде(термостат).
Текст программы на языке JavaScript:
Файл "Inverse cascade.js"
1 // Версия 16.12.16
2
3 function MainBalls(canvas, slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
4
5 canvas.onselectstart = function () {return false;}; // запрет выделения canvas
6
7 // Предварительные установки
8
9 var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
10 canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;}; // блокировка контекстного меню
11
12 var Pi = 3.1415926; // число "пи"
13
14 var m0 = 1; // масштаб массы
15 var T0 = 1; // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
16 var a0 = 1; // масштаб расстояния (диаметр шара)
17
18 var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
19 var B0 = 2 * m0 * k0; // масштаб вязкости
20
21 var G = 0;
22 var G1 = 0;
23 var G2 = 0;
24
25 // *** Задание физических параметров ***
26
27 var Ny = 30; // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
28 var m = 1 * m0; // масса
29 var Cwall = 10 * C0; // жесткость стен
30 var Cball = 0.1 * Cwall; // жесткость между частицами
31
32 var Bball = 0.01 * B0; // вязкость между частицами
33 var Bwall = 0.03 * B0; // вязкость на стенках
34 var r = 0.5 * a0; // радиус частицы в расчетных координатах
35 var K = 0.7; // все силы, зависящие от радиуса, ограничиваются значением, реализующимся при r/a = K
36 var a = 2 * r; // равновесное расстояние между частицами
37 var aCut = 2 * a; // радиус обрезания
38
39 // *** Задание вычислительных параметров ***
40
41 var fps = 50; // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
42 var spf = 100; // steps per frame - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
43 var dt = 0.045 * T0 / fps; // шаг интегрирования (качество расчета)
44
45 // Выполнение программы
46
47 var r2 = r * r; // ___в целях оптимизации___
48 var aCut2 = aCut * aCut; // ___в целях оптимизации___
49 var a2 = a * a; // ___в целях оптимизации___
50 var D = a2 * Cball / 72; // энергия связи между частицами
51
52 var steps = 0;
53 var Temp = 0;
54 Temp0 = 0.12 * D;
55 var B1 = 12*Math.sqrt((2*D)/a2);
56 var B = 0.026 * B1;
57 var betta = 3.5*B;
58 var LJCoeff = 6 * D / a2; // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
59
60 var Ka = K * a; // ___в целях оптимизации___
61 var K2a2 = K * K * a2; // ___в целях оптимизации___
62
63 var dNd = null; // ссылка на захваченный курсором шар (drag & drop)
64 var grad; // должен ли работать градиент (регулируется в функции setNy())
65
66 this.set_01 = function(p) {betta = p * B;};
67 this.set_02 = function(pT) {Temp0 = pT *D;};
68
69 this.setNy = function(ny) {
70 Ny = ny;
71 context.fillStyle = "#3070d0"; // цвет, шара
72 };
73 this.setNy(Ny); // запускаем с уже присвоенным значением, чтобы обновились настройки градиента
74
75 // Запуск новой системы
76
77 // следующие переменные должны пересчитываться каждый раз, когда мы изменяем значение Ny
78 var scale, w, h;
79 var rScale13, rScaleShift;
80 this.newSystem = function() {
81 scale = canvas.height / Ny / a0; // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
82 w = canvas.width / scale; // ширина окна в расчетных координатах
83 h = canvas.height / scale; // высота окна в расчетных координатах
84
85 rScale13 = r * scale * 1.3; // ___в целях оптимизации___
86 rScaleShift = r * scale / 5; // ___в целях оптимизации___
87
88 this.setMy();
89 };
90
91 // настройка слайдеров и текстовых полей
92 slider_01.min = 0.1; slider_01.max = 20;
93 slider_01.step = 0.1;
94 slider_01.value = betta / B; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
95 text_01.value = betta / B;
96
97 // настройка слайдеров и текстовых полей
98 slider_02.min = 0.1; slider_02.max = 1;
99 slider_02.step = 0.1;
100 slider_02.value = Temp0 / D; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
101 text_02.value = Temp0 / D;
102
103 // график
104 var vGraph1 = new TM_graph( // определить график
105 "#vGraph1", // на html-элементе #vGraph
106 20000, // сколько шагов по оси "x" отображается
107 0, 1,0.1); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
108
109 // Работа с массивом
110
111 var balls = []; // массив шаров
112 var addNewBall = function(x, y, check) {
113 // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
114 if (check) {
115 if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
116 for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
117 var rx = balls[i].x - x;
118 var ry = balls[i].y - y;
119 var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
120 if (rLen2 < 4 * r2) return null;
121 }
122 }
123
124 var b = [];
125
126 b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара
127 b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар
128 b.vx = (3 * (1 - 2 * Math.random())); b.vy = (3 * (1 - 2 * Math.random())); // скорость
129
130 // balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива
131 balls.push(b);
132 return b;
133 };
134
135 this.setMy = function() {
136 balls = [];
137 for (var j = 0; j < Ny; j++)
138 for (var i = 0; i < Ny; i++)
139 addNewBall(w*j/Ny + r, h*i/Ny + r , true); // задаем 50x50
140 document.getElementById('ballsNum').innerHTML = balls.length;
141 }
142
143 // Основной цикл программы
144
145 function control() {
146 physics();
147 draw();
148 }
149
150 // Расчетная часть программы
151
152 function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени
153 for (var s = 1; s <= spf; s++) {
154
155 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
156 Temp = 1/2 * (balls[i0].vx * balls[i0].vx + balls[i0].vy * balls[i0].vy) / Ny;
157 var stat = Math.sqrt(Temp0/Temp);
158 balls[i0].vx*=stat;
159 balls[i0].vy*=stat;
160 }
161 for (var i = 0; i < balls.length; i++)
162 {
163 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
164 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
165 var b = balls[i];
166 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
167 var b2 = balls[j];
168 var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)
169 var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами
170 if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания
171 var rLen = (Math.sqrt(r2));
172
173 // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
174 if (r2 < K2a2) {
175 if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0
176 rx = rx / rLen * Ka;
177 ry = ry / rLen * Ka;
178 }
179 r2 = K2a2;
180 rLen = Ka; // корень K2a2
181 }
182 // сила взаимодействия
183 var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___
184 var s8 = s4 * s4;
185 var F = LJCoeff * s8 * s2 * ((aCut - rLen)/(aCut - a)); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
186
187 var vx21 = b.vx - b2.vx; var vy21 = b.vy - b2.vy; // вектор смотрит на первый шар (b)
188 var ex = rx / rLen; var ey = ry / rLen;
189 var v = vx21 * ex + vy21 * ey;
190 F -= betta * ((aCut - rLen)/(aCut - a)) * v * (1/rLen);
191
192 // суммируем силы
193 var Fx = F * rx*dt; var Fy = F * ry*dt;
194
195 b.vx += Fx; b.vy += Fy;
196 b2.vx -= Fx; b2.vy -= Fy;
197
198 G2 += b.vx * b2.vx + b.vy * b2.vy;
199 G1 += 1;
200
201 }
202
203 if (b.y + r > h) { b.vy += (-Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy)*dt; }
204 if (b.y - r < 0) { b.vy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
205 if (b.x + r > w) { b.vx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
206 if (b.x - r < 0) { b.vx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
207
208 }
209 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
210 balls[i0].x += dt * balls[i0].vx;
211 balls[i0].y += dt * balls[i0].vy;
212 }
213
214 G = G2 / G1 / 2/ Temp0/Ny;
215
216 steps++;
217 if (steps % 200 == 0) {
218 vGraph1.graphIter(steps, (G))}
219 }
220 }
221
222 // Рисование
223 function draw() {
224 context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale); // очистить экран
225 for (var i = 0; i < balls.length; i++){
226 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
227 if (grad) {
228 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
229 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
230 gradient.addColorStop(0, "#0000bb");
231 gradient.addColorStop(1, "#44ddff");
232 context.fillStyle = gradient;
233 }
234
235 context.beginPath();
236 context.arc(xS, yS, r*scale, 0, 2 * Math.PI, false);
237 context.closePath();
238 context.fill();
239 }
240 }
241
242 // Запуск системы
243 this.newSystem();
244 /*for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) { // задаем частицам случайные скорости
245 balls[i0].vx = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
246 balls[i0].vy = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
247 }*/
248 if(!window.requestAnimationFrame){
249 window.requestAnimationFrame = (function(){
250 return window.webkitRequestAnimationFrame
251 || window.mozRequestAnimationFrame
252 || window.oRequestAnimationFrame
253 || window.msRequestAnimationFrame
254 || function(callback, element){window.setTimeout(callback, 1000 / fps);};
255 })();
256 }
257 //setInterval(control, 1000 / fps);
258
259 function animate(){
260 requestAnimationFrame(animate);
261 control();
262 }
263 animate();
264 }
Анализ
С помощью графика можно наблюдать за зависимостью корреляции скоростей от входных параметров (вязкость, температура, кол-во частиц).
Уравнение для корреляции скоростей :
Например, для начальной конфигурации на 60 000 шаге по времени будет наблюдаться график 1.
А для измененных входных параметров график 2 и 3.
Ссылки
- Vitaly A. Kuzkin, Anton M. Krivtsov. Interscale energy transport and velocity correlations in thermostated dissipative soft disc system.
