Обобщение V-model на случай анизотропных сдвиговой и изгибной жёсткостей — различия между версиями

Текущая версия на 17:21, 24 января 2020

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Вараев Владислав

Группа: 3630103/60101

Семестр: осень 2019

Краткое описание V - model[править]

Тело представляется набором частиц, связанных упругими связями. Для двух частиц возможно записать потенциал связи, параметры которого будут связаны с коэффициентами жёсткости связи, соответствующими жёсткостям на продольное растяжение, сдвиг, изгиб и кручение.

Модель описывается следующими формулами:

Взаимодействие двух частиц

Сила взаимодействия:

[math]\mathbf{F_{ij}} = B_1 ( D_{ij} - a) \mathbf{d_{ij}} + \frac{B_2}{2D_{ij}}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}}) [/math]

Моменты:

[math]\mathbf{M_{ij}} = R_i \mathbf{n_{i1}} \times \mathbf{F_{ij}} - \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{i1}}+\mathbf{M_{tb}} [/math]

[math]\mathbf{M_{ji}} = R_i \mathbf{n_{j1}} \times \mathbf{F_{ji}} + \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{j1}}-\mathbf{M_{tb}} [/math]

[math]\mathbf{M_{tb}} = B_3 \mathbf{n_{j1}} \times \mathbf{n_{i1}} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n_{j2}}\times \mathbf{n_{i2}}+\mathbf{n_{j3}}\times \mathbf{n_{i3}}) [/math]

Где [math]B_1[/math], [math]B_2[/math], [math]B_3[/math] и [math]B_4[/math] - различные коэффициенты, которые являются характеристиками системы.

Для случая изотропии сдвиговой и изгибной жёсткостей соотношения между жёсткостями системы и коэффициентами имеют следующий вид:

Виды деформаций

• Жесткость на растяжение-сжатие: [math]c_a = B_1 [/math]

• Жесткость на сдвиг: [math]c_d = \frac{B_2}{a^2} [/math]

• Жесткость на изгиб: [math]c_b = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} [/math]

• Жесткость на кручение: [math]c_t = B_4 [/math]

Обобщение на анизотропный случай[править]

Анизотропией будет являться случай, в котором виды сдвиговых и изгибных жёсткостей будут зависеть от осей, относительно которых проводился соответствующий эксперимент. То есть эти жёсткости будут зависеть от разных коэффициентов [math]B[/math]. Тогда предположим следующий вид потенциала:

[math]U = \frac{B_1}{2}(D_{ij} - a)^2 + \frac{B_2}{2}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot\mathbf{d_{ij}} + B_3 \mathbf{n_{i1}}\cdot\mathbf{n_{j1}} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n_{i2}}\cdot\mathbf{n_{j2}} + \mathbf{n_{i3}}\cdot\mathbf{n_{j3}}) + B_{21}(...) + B_{22}(...) [/math]

С учётом [math] \frac{d\mathbf{d_{ij}}}{d\mathbf{r_{ij}}} = \frac{1}{D_{ij}}(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}})[/math] имеем:

[math]\mathbf{F_{ij}} = B_1 ( D_{ij} - a) \mathbf{d_{ij}} + \frac{B_2}{2D_{ij}}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}}) + B_{21}(...) + B_{22}(...)[/math]

[math]\mathbf{M_{ij}} = R_i \mathbf{n_{i1}} \times \mathbf{F_{ij}} - \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{i1}}+\mathbf{M_{tb}} + B_{21}(...) + B_{22}(...)[/math]

Теперь при осуществлении сдвига вдоль оси [math] \mathbf{k} [/math] получаем следующее значение сдвиговой жёсткости:

[math]c_{dk} = \frac{B_2}{a^2} + B_{21}(...)[/math]

а при сдвиге вдоль оси [math] \mathbf{j} [/math]:

[math]c_{dj} = \frac{B_2}{a^2} + B_{22}(...)[/math]

А при изгибе относительно [math] \mathbf{n_{i2} = n_{j2}} [/math] и [math] \mathbf{n_{i3} = n_{j3}} [/math] получаем соответственно:

[math]c_{b2} = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} + B_{21}(...)[/math]

[math]c_{b3} = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} + B_{22}(...)[/math]

Ссылки[править]

• Курсовые 2019-2020
• Основная статья про V-model
• V.A. Kuzkin, A.M. Krivtsov, Enhanced vector-based model for elastic bonds in solids (2017)