Редактирование: Обобщение V-model на случай анизотропных сдвиговой и изгибной жёсткостей

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Вараев Владислав]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019


== Краткое описание V - model == 

Тело представляется набором частиц, связанных упругими связями. 
Для двух частиц возможно записать потенциал связи, параметры которого будут связаны с коэффициентами жёсткости связи, соответствующими жёсткостям на продольное растяжение, сдвиг, изгиб и кручение.

Модель описывается следующими формулами:
[[Файл:Fig2_single_bond.png|350px|thumb|right| Взаимодействие двух частиц]] 
Сила взаимодействия:

<math>\mathbf{F_{ij}} = B_1 ( D_{ij} - a) \mathbf{d_{ij}} + \frac{B_2}{2D_{ij}}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}}) </math>

Моменты:

<math>\mathbf{M_{ij}} = R_i \mathbf{n_{i1}} \times \mathbf{F_{ij}} - \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{i1}}+\mathbf{M_{tb}} </math>

<math>\mathbf{M_{ji}} = R_i \mathbf{n_{j1}} \times \mathbf{F_{ji}} + \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{j1}}-\mathbf{M_{tb}} </math>

<math>\mathbf{M_{tb}} = B_3 \mathbf{n_{j1}} \times \mathbf{n_{i1}} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n_{j2}}\times \mathbf{n_{i2}}+\mathbf{n_{j3}}\times \mathbf{n_{i3}}) </math>

Где <math>B_1</math>, <math>B_2</math>, <math>B_3</math> и <math>B_4</math> - различные коэффициенты, которые являются характеристиками системы.

Для случая изотропии сдвиговой и изгибной жёсткостей соотношения между жёсткостями системы и коэффициентами имеют следующий вид:
[[Файл: Fig3_bond_def.png|600px|thumb|right|Виды деформаций]]

* Жесткость на растяжение-сжатие: <math>c_a = B_1 </math>

* Жесткость на сдвиг: <math>c_d = \frac{B_2}{a^2} </math>

* Жесткость на изгиб: <math>c_b = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} </math>

* Жесткость на кручение: <math>c_t = B_4 </math>

== Обобщение на анизотропный случай ==

Анизотропией будет являться случай, в котором виды сдвиговых и изгибных жёсткостей будут зависеть от осей, относительно которых проводился соответствующий эксперимент. То есть эти жёсткости будут зависеть от разных коэффициентов <math>B</math>.
Тогда предположим следующий вид потенциала:

<math>U = \frac{B_1}{2}(D_{ij} - a)^2 + \frac{B_2}{2}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot\mathbf{d_{ij}} + B_3 \mathbf{n_{i1}}\cdot\mathbf{n_{j1}} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n_{i2}}\cdot\mathbf{n_{j2}} + \mathbf{n_{i3}}\cdot\mathbf{n_{j3}}) + </math>

С учётом <math> \frac{d\mathbf{d_{ij}}}{d\mathbf{r_{ij}}} = \frac{1}{D_{ij}}(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}})</math> имеем:

<math>\mathbf{F_{ij}} = B_1 ( D_{ij} - a) \mathbf{d_{ij}} + \frac{B_2}{2D_{ij}}(\mathbf{n_{j1}} - \mathbf{n_{i1}})\cdot(\mathbf{E}-\mathbf{d_{ij}}\mathbf{d_{ij}}) + </math>

<math>\mathbf{M_{ij}} = R_i \mathbf{n_{i1}} \times \mathbf{F_{ij}} - \frac{B_2}{2}\mathbf{d_{ij}}\times \mathbf{n_{i1}}+\mathbf{M_{tb}} + </math>

Теперь при осуществлении сдвига вдоль оси <math> \mathbf{k} </math> получаем следующее значение сдвиговой жёсткости:

<math>c_{dk} = \frac{B_2}{a^2} + B_{21}(...)</math>

а при сдвиге вдоль оси <math> \mathbf{j} </math>:

<math>c_{dj} = \frac{B_2}{a^2} + B_{22}(...)</math>

А при изгибе относительно <math> \mathbf{n_{i2} = n_{j2}} </math> и <math> \mathbf{n_{i3} = n_{j3}} </math> получаем соответственно:

<math>c_{b2} = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} + B_{21}(...)</math>

<math>c_{b3} = \frac{B_2}{4} + B_3 +\frac{B_4}{2} + B_{22}(...)</math>


== Ссылки ==
* [[Курсовые_работы_по_ВМДС:_2019-2020|Курсовые 2019-2020]]
* [[V-model | Основная статья про V-model]]
* V.A. Kuzkin, A.M. Krivtsov, Enhanced vector-based model for elastic bonds in solids (2017)