Нелинейные волновые процессы

Цель изучения дисциплины Нелинейные волновые процессы – формирование у студентов знания современного состояния нелинейных волновых задач механики и понимания ее основных проблем, а также развитие общих навыков решения этих проблем методами математического и численного моделирования при помощи программы Вольфрам Математика.

Содержание курса:

1. Постановка нелинейных волновых задач механики

1.1. Нелинейное моделирование в жидкости и в твердом теле

Среды со слабо-нелинейными и существенно-нелинейными свойствами. Физические источники слабой и аномальной нелинейности в жидкости и твердом теле. Энергия деформации. Роль нелинейности в искажении волнового профиля. Взаимная компенсация нелинейных, дисперсионных и диссипативных эффектов, приводящая к возникновению нелинейной волны постоянной формы. Основные типы таких волн.

1.2. Вывод нелинейных модельных уравнений.

Асимптотическая редукция исходных уравнений к модельным. Метод Гамильтона-Остроградского. Связи между продольными и поперечными смещениями.

1.3. Комплексный аналитико-численный подход к исследованию решений уравнений.

Недостаточность сугубо численного моделирования нелинейных процессов. Понятие интегрируемого и неинтегрируемого дифференциального уравнения. Точное решение в виде бегущей уединенной волны. Асимптотический метод многих масштабов. Численное исследование эволюции нелинейных волн.

2. Нелинейные волны в жидкости

2.1. Длинные волны на мелкой воде.

Вывод одномерных модельных уравнений Буссинеска и Кортевега-де Вриза для поперечных поверхностных волн. Волны над неровным дном. Усиление уединенной волны и задача о цунами. Нелинейное уравнение Шредингера для описания модуляции волн. Наблюдения уединенных поверхностных волн.

2.2 Локализованные волновые решения модельных уравнений.

Прямые методы получения точных решений. Метод подстановки. Решение в виде уединенной и кноидальной волн. Модулированный волновой пакет.

2.3. Усиление локализованной волны.

Метод многих масштабов. Сращивание асимптотических разложений. Качественный анализ. Селекция уединенной волны.

2.4. Взаимодействие локализованных волн.

Метод Хироты. Нелинейное взаимодействие. Моделирование взаимодействия нелинейных волн в одномерном и двумерном случаях. Понятие двумерной локализации. Численное моделирование. Задача о «волне-убийце».

3. Нелинейные волны в классическом упругом теле

3.1. Локализованные волны деформации в упругом стержне.

Модель Мурангана. Вывод уравнения для волн в стержне. Локализация и фокусировка нелинейных волн деформации и их отражение от торца стержня. Экспериментальное наблюдение локализованных волн в стержне.

3.2 Локализованные волны деформации в кристаллах.

Одномерные модели нелинейных простых кристаллических решеток. Задача Ферми-Паста-Улама. Длинноволновый и коротковолновый континуальные пределы. Прямое континуальное моделирование. Вывод нелинейных модельных уравнений.

3.3 Поверхностные акустические волны.

Волны Рэлея на поверхности полупространства. Влияние поверхностного упругого слоя на полупространстве на локализацию нелинейной волны. Волны Лява.

4. Нелинейные волны в средах с внутренней структурой

4.1. Нелинейные волны в средах с микроструктурой.

Среды со сложной внутренней структурой. Модель Коссера и Леру для твердого тела с микроструктурой. Среда и волновод из материала с внутренней структурой.

4.2. Феноменологическое моделирование волн в горных породах.

Понятие аномальной нелинейности. Упругие модули горных пород. Вывод модельных уравнений. Влияние нелинейности высокого порядка на локализацию волны деформации.

назад к описанию магистерской программы с CDIO подходом