Модифицированная функция Бесселя

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0} заменить {\displaystyle \ z} на {\displaystyle \ iz} , оно примет вид

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)} Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если {\displaystyle ~\nu } не является целым числом, то функции Бесселя {\displaystyle ~J_{\nu }(iz)} и {\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} являются двумя линейно независимыми решениями уравнения {\displaystyle ~(1)} . Однако чаще используют функции

{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}} и {\displaystyle ~I_{-\nu }(z).} Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если {\displaystyle ~\nu } — вещественное число, а {\displaystyle ~z} — положительно эти функции принимают вещественные значения.