Модифицированная функция Бесселя — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 1: Строка 1:
 +
==Введение==
 
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
 
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
  
Строка 7: Строка 8:
  
 
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}</math>
 
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}</math>
 +
 
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя.
 
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя.
Если <math>{\displaystyle ~\nu } </math> не является целым числом, то функции Бесселя <math>{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}</math>  и <math>{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} </math> являются двумя линейно независимыми решениями уравнения<math> {\displaystyle ~(1)}</math> . Однако чаще используют функции
+
Если <math>{\displaystyle ~\nu } </math> не является целым числом, то функции Бесселя <math>{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}</math>  и <math>{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} </math> являются двумя линейно независимыми решениями уравнения<math> {\displaystyle ~(1)}</math> .
 +
Однако чаще используют функции
  
 
<math>{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}</math>  и <math>{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}</math>
 
<math>{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}</math>  и <math>{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}</math>
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если<math> {\displaystyle ~\nu } </math> — вещественное число, а <math>{\displaystyle ~z} </math> — положительно эти функции принимают вещественные значения.
+
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда .  
 +
Если<math> {\displaystyle ~\nu } </math> — вещественное число, а <math>{\displaystyle ~z} </math> — положительно эти функции принимают вещественные значения.
 +
==Реализация==
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }}

Текущая версия на 13:07, 17 июня 2016

Введение[править]

Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}[/math] заменить [math]{\displaystyle \ z} [/math] на [math]{\displaystyle \ iz} [/math], оно примет вид

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}[/math]

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если [math]{\displaystyle ~\nu } [/math] не является целым числом, то функции Бесселя [math]{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}[/math] и [math]{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} [/math] являются двумя линейно независимыми решениями уравнения[math] {\displaystyle ~(1)}[/math] . Однако чаще используют функции

[math]{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}[/math] и [math]{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}[/math] Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если[math] {\displaystyle ~\nu } [/math] — вещественное число, а [math]{\displaystyle ~z} [/math] — положительно эти функции принимают вещественные значения.

Реализация[править]