Модифицированная функция Бесселя — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
 
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
  
−
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}
+
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}</math>
−
заменить {\displaystyle \ z} на {\displaystyle \ iz} </math>, оно примет вид
+
заменить <math>{\displaystyle \ z} </math> на <math>{\displaystyle \ iz} </math>, оно примет вид
  
−
{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}
+
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}</math>
 
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя.
 
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя.
−
Если {\displaystyle ~\nu } не является целым числом, то функции Бесселя {\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}  и {\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} являются двумя линейно независимыми решениями уравнения {\displaystyle ~(1)} . Однако чаще используют функции
+
Если <math>{\displaystyle ~\nu } </math> не является целым числом, то функции Бесселя <math>{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}</math> и <math>{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} </math> являются двумя линейно независимыми решениями уравнения<math> {\displaystyle ~(1)}</math> . Однако чаще используют функции
  
−
{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}  и {\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}
+
<math>{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}</math> и <math>{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}</math>
−
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если {\displaystyle ~\nu } — вещественное число, а {\displaystyle ~z} — положительно эти функции принимают вещественные значения.
+
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если<math> {\displaystyle ~\nu } </math> — вещественное число, а <math>{\displaystyle ~z} </math> — положительно эти функции принимают вещественные значения.
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }}

Версия 13:06, 17 июня 2016

Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}[/math] заменить [math]{\displaystyle \ z} [/math] на [math]{\displaystyle \ iz} [/math], оно примет вид

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}[/math] Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если [math]{\displaystyle ~\nu } [/math] не является целым числом, то функции Бесселя [math]{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}[/math] и [math]{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} [/math] являются двумя линейно независимыми решениями уравнения[math] {\displaystyle ~(1)}[/math] . Однако чаще используют функции

[math]{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}[/math] и [math]{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}[/math] Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если[math] {\displaystyle ~\nu } [/math] — вещественное число, а [math]{\displaystyle ~z} [/math] — положительно эти функции принимают вещественные значения.

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Модифицированная_функция_Бесселя&oldid=42507»