Редактирование: Модель Скотта
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Модель Скотта''' - это механическая система, которая служит для демонстрации солитонных решений уравнения sin-Гордона (Френкеля-Конторовой) вида: <math>\ddot{u} - u'' = -\sin u</math> | '''Модель Скотта''' - это механическая система, которая служит для демонстрации солитонных решений уравнения sin-Гордона (Френкеля-Конторовой) вида: <math>\ddot{u} - u'' = -\sin u</math> | ||
− | + | == Краткие исторические сведения о солитонах == | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | == Краткие исторические сведения == | ||
− | |||
− | |||
Уединенные волны (солитоны) впервые стали предметом научных исследований в 1834 году благодаря английскому инженеру Джону Скотту Расселу, проводившему судоходные эксперименты в канале [https://maps.google.com/maps/ms?msa=0&msid=200760356932241174610.0004d8db4489615a2bb0e&hl=en&ie=UTF8&ll=55.916314,-3.305855&spn=0.081673,0.222988&t=m&z=13&vpsrc=6&iwloc=0004d8db448ab3603711f Юнион, недалеко от Эдинбурга]. В своих трудах он описал увиденное им явление так: | Уединенные волны (солитоны) впервые стали предметом научных исследований в 1834 году благодаря английскому инженеру Джону Скотту Расселу, проводившему судоходные эксперименты в канале [https://maps.google.com/maps/ms?msa=0&msid=200760356932241174610.0004d8db4489615a2bb0e&hl=en&ie=UTF8&ll=55.916314,-3.305855&spn=0.081673,0.222988&t=m&z=13&vpsrc=6&iwloc=0004d8db448ab3603711f Юнион, недалеко от Эдинбурга]. В своих трудах он описал увиденное им явление так: | ||
Строка 38: | Строка 23: | ||
*линейные волны свободно проходят друг через друга, образуя интерференционную картину | *линейные волны свободно проходят друг через друга, образуя интерференционную картину | ||
− | Некоторые виды нелинейных волн и их свойства | + | Некоторые виды нелинейных волн и их свойства: |
*стоячие волны - не двигаются, совершая колебания на одном месте; частота таких колебаний должна быть отстроена от собственных частот системы | *стоячие волны - не двигаются, совершая колебания на одном месте; частота таких колебаний должна быть отстроена от собственных частот системы | ||
Строка 52: | Строка 37: | ||
== Уравнение sin-Гордона == | == Уравнение sin-Гордона == | ||
− | Данное уравнение применяется для описания следующих процессов | + | Данное уравнение применяется для описания следующих процессов: |
*перемещений дислокаций (ячейки кристаллической решетки с отсутствующим атомом) в кристаллах, взаимодействие дислокаций и антидислокаций (ячеек с лишним атомом) <ref name="FK"/> | *перемещений дислокаций (ячейки кристаллической решетки с отсутствующим атомом) в кристаллах, взаимодействие дислокаций и антидислокаций (ячеек с лишним атомом) <ref name="FK"/> | ||
Строка 58: | Строка 43: | ||
*расплетания цепочки ДНК при репликации и динамики протяженных молекул <ref name="Dav"/>, <ref name="FK"/> | *расплетания цепочки ДНК при репликации и динамики протяженных молекул <ref name="Dav"/>, <ref name="FK"/> | ||
*распространения поперечных электромагнитных волн в длинном полосковом волноводе (полосковый волновод представляет собой слой диэлектрика, заключенный между двумя сверхпроводниками, через который протекает сверхпроводящий ток; данное явление известно под названием "эффект Джозефсона") <ref name="DJ"/> | *распространения поперечных электромагнитных волн в длинном полосковом волноводе (полосковый волновод представляет собой слой диэлектрика, заключенный между двумя сверхпроводниками, через который протекает сверхпроводящий ток; данное явление известно под названием "эффект Джозефсона") <ref name="DJ"/> | ||
− | *распространения границ доменов (доменом | + | *распространения границ доменов (доменом - макроскопическая область намагниченности в материале) ферромагнитных и ферроэлектрических материалов <ref name="FK"/> |
== Экспериментальная установка == | == Экспериментальная установка == | ||
− | |||
− | |||
Уравнение sin-Гордона имеет простую механическую интерпретацию. Модель Скотта (Рис. 1) представляет из себя маятниковую решетку, в которой распространяются крутильные волны <ref name="Scott"/>. | Уравнение sin-Гордона имеет простую механическую интерпретацию. Модель Скотта (Рис. 1) представляет из себя маятниковую решетку, в которой распространяются крутильные волны <ref name="Scott"/>. | ||
Строка 68: | Строка 51: | ||
[[Файл:Img3d_000008.jpg|450px|thumb|left|'''Рис. 1''' Фотография установки]] | [[Файл:Img3d_000008.jpg|450px|thumb|left|'''Рис. 1''' Фотография установки]] | ||
− | Длина установки составляет 1.1м, 60 маятников длиной 12см закреплены с помощью деревянных цилиндров толщиной около 1см на пружине с шагом 5мм, навитой из проволоки ГОСТ 9389-75 (диаметр 0.7мм). Диаметр цилиндров подогнан под внутренний диаметр пружины. Цилиндры вращаются вокруг струны натянутой между кронштейнами. | + | Длина установки составляет 1.1м, 60 маятников длиной 12см закреплены с помощью деревянных цилиндров толщиной около 1см на пружине с шагом 5мм, навитой из проволоки ГОСТ 9389-75 (диаметр 0.7мм). Диаметр цилиндров подогнан под внутренний диаметр пружины (18мм). Цилиндры вращаются вокруг струны натянутой между кронштейнами. |
− | Для изготовления установки использовалось оборудование [[Мини Фаблаб]]. | + | Для изготовления установки использовалось оборудование [[Мини Фаблаб]]. Работу выполнил [[Михаил Бабенков]]; |
16 марта 2013г., в клубе [[YES™]] состоялась итоговая лекция с демонстрацией работы установки. | 16 марта 2013г., в клубе [[YES™]] состоялась итоговая лекция с демонстрацией работы установки. | ||
Строка 82: | Строка 65: | ||
Если отклонить <math>i</math>-ый маятник из положения равновесия на угол <math>\varphi_i</math>, то на него будут действовать момент силы тяжести <math>-mgl \sin \varphi_i</math>, момент со стороны предыдущей пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i-1})</math> и момент со стороны следующей за ним пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i+1})</math>, тогда систему разностных уравнений движения дискретной маятниковой системы можно записать так: | Если отклонить <math>i</math>-ый маятник из положения равновесия на угол <math>\varphi_i</math>, то на него будут действовать момент силы тяжести <math>-mgl \sin \varphi_i</math>, момент со стороны предыдущей пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i-1})</math> и момент со стороны следующей за ним пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i+1})</math>, тогда систему разностных уравнений движения дискретной маятниковой системы можно записать так: | ||
− | <math>m l^2 \ddot{\ | + | <math>m l^2 \ddot{\varphi} = -mgl \sin \varphi_i -\kappa(\varphi_i-\varphi_{i+1})-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i-1})</math> |
Или: | Или: | ||
− | <math>m l^2 \ddot{\ | + | <math>m l^2 \ddot{\varphi} = -mgl \sin \varphi_i +\kappa(\varphi_{i+1} -2\varphi_i +\varphi_{i-1})</math> |
− | + | Разделив все уравнение на <math>d^2</math>, перепишем в новых обозначениях: | |
− | <math>\ddot{\ | + | <math>\ddot{\varphi} - c^2 \frac{\varphi_{i+1} -2\varphi_i +\varphi_{i-1}}{d^2} = -\Omega^2 \sin \varphi_i</math> |
Где <math>c^2=\frac{\kappa d^2}{m l^2}</math>, <math>\Omega^2=\frac{g}{l}</math> | Где <math>c^2=\frac{\kappa d^2}{m l^2}</math>, <math>\Omega^2=\frac{g}{l}</math> | ||
Строка 126: | Строка 109: | ||
== Обсуждение == | == Обсуждение == | ||
− | Необычайная схожесть солитонов с объектами микромира порождает ряд интересных дискуссий, в т.ч. о природе электрического заряда | + | Необычайная схожесть солитонов с объектами микромира порождает ряд интересных дискуссий, в т.ч. о природе электрического заряда. Способностям отталкиваться или аннигилировать СГ-солитон обязан своим топологическим свойствам: в зависимости от направления его закрученности ему можно сопоставить положительный или отрицательный "заряд". |
Топология изучает объекты безотносительно их непрерывных деформаций (таких деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний), т.е. геометрические тела "кружка" и "бублик" с точки зрения топологии могут рассматриваться как идентичные (топологически гомеоморфные) объекты: [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F wiki]. | Топология изучает объекты безотносительно их непрерывных деформаций (таких деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний), т.е. геометрические тела "кружка" и "бублик" с точки зрения топологии могут рассматриваться как идентичные (топологически гомеоморфные) объекты: [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F wiki]. | ||
− | Чтобы нагляднее представить как устроен СГ-солитон с точки зрения топологии, рассмотрим "солитон Эйлера", представляющий собой петлю на тонкой проволоке. Он топологически гомеоморфен кинкам в механической модели sin-Гордона (может быть получен из СГ-солитона путем непрерывных деформаций) и описывается почти тем же уравнением, что и СГ-солитон, но с той лишь разницей, что пространственную координату <math>x</math> и время <math>t</math> нужно поменять местами <ref name="Fill"/> | + | Чтобы нагляднее представить как устроен СГ-солитон с точки зрения топологии, рассмотрим "солитон Эйлера", представляющий собой петлю на тонкой проволоке. Он топологически гомеоморфен кинкам в механической модели sin-Гордона (может быть получен из СГ-солитона путем непрерывных деформаций) и описывается почти тем же уравнением, что и СГ-солитон, но с той лишь разницей, что пространственную координату <math>x</math> и время <math>t</math> нужно поменять местами <ref name="Fill"/>. |
Согласно одной из гипотез, заряженные элементарные частицы обладают своими свойствами благодаря тому, что топологически гомеоморфны рассмотренным объектам. | Согласно одной из гипотез, заряженные элементарные частицы обладают своими свойствами благодаря тому, что топологически гомеоморфны рассмотренным объектам. | ||
Строка 136: | Строка 119: | ||
== Благодарности == | == Благодарности == | ||
− | Работа выполнена | + | Работа выполнена при финансовой поддержки [[Мурачёв_Андрей|Андрея Мурачева]], кафедра [[Теоретическая механика]] в рамках [http://www.fadm.gov.ru/news/13916/ гранта Росмолодежи], |
Автор выражает глубокую благодарность [[Голубчиков_Андрей|Андрею Голубчикову]], [[Фотомеханика™]] за профессиональную фото и видео съемку. | Автор выражает глубокую благодарность [[Голубчиков_Андрей|Андрею Голубчикову]], [[Фотомеханика™]] за профессиональную фото и видео съемку. | ||
− | Автор благодарен сотрудникам [[Мини Фаблаб]], [[ | + | Автор благодарен сотрудникам [[Мини Фаблаб]], [[Фотомеханика™]] за помощь в освоении оборудования, необходимого для работы. |
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
Строка 163: | Строка 146: | ||
</references> | </references> | ||
− | |||
− |