Редактирование: Моделирование упругого стержня на примере позвоночника

== Руководитель == 
Вильчевская Е.Н.
== Введение == 
В работе рассматривается частный случай гибкого стержня – позвоночник человека. Грамотная нагрузка позвоночника важна как в детстве – при большой гибкости и постоянных изменениях размеров позвоночника, так и в дальнейшем, когда приходится выбирать что носить – рюкзак или сумку, или при экстремальных нагрузках в походах. 
В дальнейшем результаты работы позволят составить общую теорию по оптимальной нагрузке позвоночника. А так же могут послужить подсказкой к оптимальной нагрузке гибких стержней в целом.
Так же данная тема позволяет мне продемонстрировать умение строить математические модели, что является целью моего обучения в бакалавриате по данной специальности.
Целью данной работы является возможность доказать, что правильная нагрузка на позвоночник может существенно снизить его деформации. Я рассчитала деформации и изгибы сечений стержня для наиболее часто встречающихся параметров.

== Цели == 
* Смоделировать нагрузки на стержень
* Рассчитать численно силы, действующие на позвоночник
* Составить формулы для векторов деформации и изгиба позвоночника
* Выявить зависимость деформаций и изгиба позвоночника в зависимости от управляющих параметров

== Постановка задачи: Модель ==
[[File:Sravn2.png|thumbnail|Нагрузка от мышц]]
[[File:Sravn.png|thumbnail|Распределенная нагрузка в результате давления руюкзака]]
* Нагрузка от лямок передается по абсолютно упругим пружинам – мышцам в виде распределенной нагрузки на позвоночник
* Точечные силы и моменты от сил, действующих на ребра и на таз
* Распределенная сила, действующая в позвоночнике в результате давления рюкзака на позвоночник

== Постановка задачи: Уравнения ==
* Уравнения статики
Усилие в позвоночнике<br>
<math> \dot N \ =\ {f_{n}\left(s\right)} + {f_{m}\left(s\right)} + {f_{i}\delta\left(s_{i}\right)}</math><br>
Момент в позвоночнике<br>
<math> \dot M \ + j\times N =\ {m_{i}\delta\left(s_{i}\right)}</math><br>
<br>
* Векторы деформации и внутренняя энергия
Вектор растяжения-поперечного сдвига<br>
<math>e = \dot U\ + j\times \Psi </math><br>
Вектор изгиба-кручения<br>
<math>k = \dot \Psi\ </math><br>
Внутренняя энергия<br>
<math>\rho_{0}U = \frac{1}{2}e*A*e + \frac{1}{2}k*C*k </math><br>

== Точное решение==
* Изгиб позвоночника
<math>\Psi_{z} = {\frac{N_{позв}}{C_{z}}} {\frac{s^3}{6}} + ({\frac{s^2}{2}} - s_{i}s)\Sigma(N_{таза}-F_{пояса}+N_{ребра_{i}})*H(s-s_{i}) </math>

* Деформации по x
<math>U_{x} = -{\frac{N_{позв}}{C_{z}}} {\frac{s^4}{24}} - ({\frac{s^3}{6}} - s_{i}{\frac{s^2}{2}})\Sigma(N_{таза}-F_{пояса}+N_{ребра_{i}})*H(s-s_{i}) </math>

* Деформации по y
<math>U_{y} = {\frac{2F_{лямок}}{A_{y}a^2}} {\frac{s^3}{6}} - {\frac{N_{0}}{A_{y}}}s + {\frac{F_{пояса}}{A_{y}}}H(s-s_{i}) </math>

== Выводы ==
* На основе линейной теории стержней разработана модель по определению нагрузок со стороны рюкзака.
* Получена зависимость изгиба и деформаций стержня от управляющих параметров
* Обнаружено, что:
** Деформации позвоночника U будут уменьшаться с увеличением угла поясника β
** Уменьшить изгиб позвоночника Ψ мы можем расположив центр масс как можно ближе к тазу

== Список литературы ==
1. «Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней» П.А. Жилин, 2007 г<br>
2. «Медицинская и биологическая физика. Курс лекций с задачами: учеб. Пособие» В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов, 2008 г<br>
3. Journal of Biomechanics 33 (2000) 881-888<br>
4. «Хирургия позвоночника» 2/2006 © А.И. Продан и др.<br>