Редактирование: Моделирование удара шарика об стенку Эссам

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Эссам Жоан]]

'''Группа:'''  5030103/80101

'''Семестр:''' осень 2021

== Постановка задачи ==

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

==Математическая модель==
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

<math>
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n
</math>


где 
<math>
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;

<math>
  \underline{P}
</math> - давление создаваемое газом;

<math>
 \underline{F}_{Wall}\\
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

<math>
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.

Давление:

<math>
   \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

<math>
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
</math>,  где  <math>\Pi(r)=frac{12D}{a}[(\frac{a}{r})^{13}-(\frac{a}{r})^7]</math>
@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 </math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
-Сила упругости, действующая на частицу 1 со стороны частицы 2, вычисляется по следующей формуле:
+Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 <math>
-    \underline{F}_{R}= -(||\underline{R}_1-\underline{R}_2|| - l_0)k_R\frac{(\underline{R}_2-\underline{R}_1)}{||\underline{R}_2-\underline{R}_1||}
+    \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
-</math>,  где <math>l_0</math> - начальная длина пружины  соединяющей частицу 1 и 2 и  <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
+</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
 Давление:
 <math>
-    \underline{P}=P \underline{n}
+    \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
-</math>,  где <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
+</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
 Взаимодействие шара со стеной:
 <math>
-    \underline{F}_{Wall}=\frac{12D}{a}[(\frac{a}{r})^{13}-(\frac{a}{r})^7]
+    \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
-</math>
+</math>,  где  <math>\Pi(r)=frac{12D}{a}[(\frac{a}{r})^{13}-(\frac{a}{r})^7]</math>
-Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
-== визуализация 2D моделирования ==
-исходный код можно посмотреть здесь:
-https://github.com/johann314/DM
-{{#widget:Iframe |url=https://johann314.github.io/DM/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}