| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 8: |
Строка 8: |
| | | | |
| | ==Постановка задачи== | | ==Постановка задачи== |
| − | Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
| + | Смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. |
| | Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. | | Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. |
| | | | |
| | ==Математическая модель== | | ==Математическая модель== |
| − | Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
| |
| − | \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | где
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
| |
| − | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
| |
| − | </math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{P}
| |
| − | </math> - давление создаваемое газом;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{Wall}\\
| |
| − | </math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
| |
| − |
| |
| − | Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
| |
| − | </math>, где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
| |
| − |
| |
| − | Сила демпфирования:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
| |
| − | </math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
| |
| − |
| |
| − | Давление:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
| |
| − | </math>, где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
| |
| − |
| |
| − | Взаимодействие шара со стеной:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
| |
| − | </math>, где <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
| |
| − |
| |
| − | Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
| |
| − |
| |
| − | ==Результаты моделирования==
| |
| − | Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub:
| |
| − | https://github.com/DmitryPashkovsky/balloon_modeling_2D
| |
| − |
| |
| − | В первом случае начальная скорость (-3.65, 0.0), а начальное положение (12.0, 10.0).
| |
| − |
| |
| − | [[File:Experiment_1.gif]]
| |
| − |
| |
| − | Во втором случае начальная скорость (-3.65, -1.5), а начальное положение (12.0, 15.0).
| |
| − |
| |
| − | [[File:Experiment_2.gif]]
| |
