Редактирование: Моделирование столкновения шарика со стенкой

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Савельев Иван]]

'''Группа:'''  5030103/80101

'''Семестр:''' осень 2021

==Постановка задачи==
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальных точек, каждая из которых соединена пружиной.
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

==Математическая модель==
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

<math>
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
</math>


где 
<math>
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;

<math>
  \underline{P}
</math> - давление создаваемое газом;

<math>
 \underline{F}_{Wall}\\
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

<math>
   \underline{F}_{R}= -\left(\left\|\underline{r}_2-\underline{r}_1\right\| - l_0\right)k_R
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.

Давление:

<math>
   \underline{P}=k\left(\frac{V}{V_{0}} - 1\right) \underline{n}
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> V_{0} </math> - начальный объем шара, <math> k </math> - коэффициент давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

<math>
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-\left(\frac{a}{r}\right)^6\right]</math>

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

==Результаты моделирования==
Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/Albatrosovs/Balloon-model