Редактирование: Моделирование распространения тепла в треугольной кристаллической решетке
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 10: | Строка 10: | ||
К сожалению, расчет бесконечной решетки (и как следствие бесконечного числа частиц) потребовал бы бесконечных вычислительных мощностей или бесконечного времени на расчет. Если ограничиться достаточно большой решеткой, но конечных размеров, это приведет к ухудшению точности в связи с влиянием эффектов на границе и потребует значительных ресурсов при вычислениях. Из этой ситуации позволяет выйти периодичность кристаллической решетки. Если задать начальное одномерное распределение температуры, которое можно задать также периодичным. Таким образом мы получаем, что всю бесконечную плоскость можно разбить на конечные участки, на каждом из которых будут одинаковые начальные условия и одинаковая геометрия решетки. Это позволяет заменить задачу про бесконечную плоскость на задачу о конечном участке с периодичными граничными условиями. В качестве периодичной функции температуры вдоль выделенного направления использован синус. Распределение температуры в пространстве задавалось законом: | К сожалению, расчет бесконечной решетки (и как следствие бесконечного числа частиц) потребовал бы бесконечных вычислительных мощностей или бесконечного времени на расчет. Если ограничиться достаточно большой решеткой, но конечных размеров, это приведет к ухудшению точности в связи с влиянием эффектов на границе и потребует значительных ресурсов при вычислениях. Из этой ситуации позволяет выйти периодичность кристаллической решетки. Если задать начальное одномерное распределение температуры, которое можно задать также периодичным. Таким образом мы получаем, что всю бесконечную плоскость можно разбить на конечные участки, на каждом из которых будут одинаковые начальные условия и одинаковая геометрия решетки. Это позволяет заменить задачу про бесконечную плоскость на задачу о конечном участке с периодичными граничными условиями. В качестве периодичной функции температуры вдоль выделенного направления использован синус. Распределение температуры в пространстве задавалось законом: | ||
::<math> | ::<math> | ||
− | T = T_0 ( | + | T = T_0 (sin (\omega x)+1.05) |
</math> | </math> | ||
в первом случае и | в первом случае и | ||
::<math> | ::<math> | ||
− | T = T_0 ( | + | T = T_0 (sin (\omega y)+1.05), |
</math> | </math> | ||
где x,y - декартовы координаты в плоскости решетки, слагаемое 1.05 вводится для строгой положительности температуры во всех точках | где x,y - декартовы координаты в плоскости решетки, слагаемое 1.05 вводится для строгой положительности температуры во всех точках | ||
Строка 27: | Строка 27: | ||
Создание начальной конфигурации решетки, массива температур. Для каждого ряда (или столбца) высчитывается его температура по формуле | Создание начальной конфигурации решетки, массива температур. Для каждого ряда (или столбца) высчитывается его температура по формуле | ||
::<math> | ::<math> | ||
− | T_0 = T_b+\Delta T \sin{ \frac{2 \pi x \cdot \textbf{e_t}}{L}} | + | T_0 = T_b+\Delta T \sin{ \frac{2 \pi \x \cdot \textbf{e_t}}{L}} |
</math> | </math> | ||
− | Далее всем точкам этого ряда (столбца) задаются случайные скорости, такие, что значение квадрата их модуля не превышает температуры данного ряда (столбца) | + | Далее всем точкам этого ряда (столбца) задаются случайные скорости, такие, что значение квадрата их модуля не превышает температуры данного ряда (столбца) |
::<math> | ::<math> | ||
V_0 = random(-\sqrt{\frac{3k_b T(x)}{m}}; \sqrt{\frac{3k_b T(x)}{m}}). | V_0 = random(-\sqrt{\frac{3k_b T(x)}{m}}; \sqrt{\frac{3k_b T(x)}{m}}). | ||
Строка 43: | Строка 43: | ||
</math> | </math> | ||
# Осреднение по множеству реализаций. Поскольку температура – величина статистическая, то неправомерно считать ее как квадрат скорости частицы на некий коэффициент. Поэтому для достижения более высокой точности в программе создается несколько наборов начальных скоростей для частиц, каждый из которых отвечает начальному распределению температуры. При подсчете температуры используется осреднение значений по всем реализациям. | # Осреднение по множеству реализаций. Поскольку температура – величина статистическая, то неправомерно считать ее как квадрат скорости частицы на некий коэффициент. Поэтому для достижения более высокой точности в программе создается несколько наборов начальных скоростей для частиц, каждый из которых отвечает начальному распределению температуры. При подсчете температуры используется осреднение значений по всем реализациям. | ||
− | # Вычисление амплитуды. Амплитуда высчитывается как скалярное произведение температуры в данный момент времени и синуса той же частоты, что и в начальных условиях (интегрирование по периоду). | + | # Вычисление амплитуды. Этот этап необходим непосредственно для определения теплопроводности в данном направлении. Амплитуда высчитывается как скалярное произведение температуры в данный момент времени и синуса той же частоты, что и в начальных условиях (интегрирование по периоду). |
::<math> | ::<math> | ||
− | A = \int_0^l T(x) | + | A = \int_0^l T(x) sin(\omega x) dx |
</math> | </math> | ||
Строка 56: | Строка 56: | ||
В результате численного эксперимента были получены следующий графики: | В результате численного эксперимента были получены следующий графики: | ||
− | График зависимости амплитуды от времени при T_max = 50 T0, dt = 0.001 T0, ось распространения тепла - вдоль межатомных связей. | + | График зависимости амплитуды от времени при T_max = 50 T0, dt = 0.001 T0, ось распространения тепла - вдоль межатомных связей. |
[[File:X 1000 points 50T0 p.png|thumb|center|Амплитуда температурного синуса при модуляции вдоль направления межатомных связей]] | [[File:X 1000 points 50T0 p.png|thumb|center|Амплитуда температурного синуса при модуляции вдоль направления межатомных связей]] | ||
Строка 71: | Строка 71: | ||
[[File:FS3copcop.jpg|thumb|center|Фундаментальное решение, полученное аналитически]] | [[File:FS3copcop.jpg|thumb|center|Фундаментальное решение, полученное аналитически]] | ||
+ | |||
+ | График зависимости амплитуды от времени при T_max = 10 T0, dt = 0.001 T0, ось перпендикулярна одному из направлений связей, 200 точек. | ||
==Выводы:== | ==Выводы:== |