Редактирование: Моделирование поверхностной диффузии кремния методом молекулярной динамики

* Введение
В рассматриваемой работе описывается компьютерная модель,
позволяющая рассчитывать поведение кристалла кремния, имеющего
атомную решетку структуры алмаза. Для построения модели
использовался описанный ниже метод молекулярной динамики.
Приведены результаты численных экспериментов: нагрев кристалла с
измерением кинетической и полной энергий, нагрев кристалла с
свободной поверхностью 1,0,0, поведение атома на поверхности
1,1,1 и моделирование диффузии атомов на поверхности 1,1,1.

* Описание метода молекулярной динамики
В основе применения метода молекулярной динамики для численных
экспериментов лежит интегрирование уравнений движения частиц, –
атомов или молекул. При этом могут учитываться как потенциальные
силы, действующие между отдельными частицами, так и внешние
взаимодействия, например, для обеспечения нагрева и охлаждения
рассматриваемой среды.

* Задание свойств атомов кремния
Силы взаимодействия между атомами кремния в кристалле весьма
сложны, что обусловлено структурой электронных оболочек атомов.
Поскольку полная энергия изолированной системы должна сохраняться,
силы взаимодействия носят потенциальный характер. Т.е. сила,
действующая на один атом, может быть представлена как градиент от
некоторого потенциала – функции, зависящей от относительного
положения частиц. Наиболее простая разновидность потенциала
взаимодействия предполагает разбиение его на сумму слагаемых,
каждое из которых зависит только от расстояния между какими-либо
двумя атомами. Такую структуру имеют потенциалы [[Потенциал Леннарда-Джонса|Леннарда-Джонса]],
[[Потенциал Ми|Ми]], [[Потенциал Морзе|Морзе]].
Для них сила взаимодействия между двумя атомами может
быть вычислена с помощью дифференцирования потенциала по
скалярному аргументу – расстоянию между этими двумя атомами.
Подобные потенциалы не могут описать поведение атомов в
рассматриваемом кристалле. В описываемой компьютерной модели
используется [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|эмпирический потенциал взаимодействия Терсофа]] для
атомов кремния [1], [2]. Потенциал Терсоффа относится к многочастичным
потенциалам [3]. Так же, как вышеупомянутые потенциалы, многочастичные
потенциалы представляются в виде суммы слагаемых по всем парам
частиц, но каждое слагаемое зависит и от положения других частиц.

* Описание компьютерной модели
Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от
времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей.
Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во
временных точках, разделенных интервалами, равными шагу
интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках,
находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

<math>
    \bf{\underline{v}} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau
</math>

<math>
    \bf{\underline{r}} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau
</math>

где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\bf{\underline{w}}(t)</math>
вычисляется через силу в тот же момент времени. В начальный
момент времени задается отсчетная конфигурация. Это может быть
кристалл, представляющий собой пластину с поверхностью 1,0,0 или
1,1,1. Конфигурация представляет собой идеальную решетку структуры
алмаза. Межатомное расстояние вычисляется аналитически, с помощью
минимизации функции потенциальной энергии [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|Потенциал Терсоффа]]. Для идеальной
решетки все слагаемые <math>V_{ij}</math> равны между собой. Кроме того,
для всех углов <math>\theta_{ijk} \quad \cos \theta_{ijk} = 1/3</math>. Это позволяет
вычислить коэффициент <math>b_{ij}</math>, как
постоянную величину, после чего выражение для <math>V_{ij}</math> минимизируется по
скалярному аргументу <math>r_{ij}</math>. Скорости в начальный момент
времени задаются как случайные величины в некотором диапазоне.
Величина диапазона зависит от начальной температуры, которую мы
хотим сообщить кристаллу. Функция распределения по скоростям в
начальный момент времени особого значения не имеет, поскольку
через промежуток времени порядка нескольких минимальных периодов
колебаний решетки устанавливается максвелловское распределение
скоростей. Перед интегрированием задается область пространства
– бокс, имеющий форму параллелепипеда, в котором будет проводиться
интегрирование. Число частиц и координаты бокса остаются
неизменными. Основной цикл программы – цикл интегрирования по
времени. Внутри каждого цикла вызывается функция, осуществляющая
один шаг интегрирования по времени. Шаг интегрирования выбирается
экспериментально, из соображений устойчивости вычислительной
схемы. Необходимым условием является сохранение полной энергии при
отсутствии внешних сил. В проводимых экспериментах использовалась
величина шага интегрирования, равная <math>\tau = 0.025</math> в единицах измерения,
наиболее удобных для использования в вычислительной схеме. Так,
координаты измеряются в ангстремах, единица времени составляет

<math>\mbox{\AA} \sqrt{\frac{m}{\mbox{eV}}} = 5.39523 \cdot 10^{-14}</math> с

где <math>m = 28.0855 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27}</math> кг –
масса атома кремния, <math>\mbox{\AA} = 10^{-10}</math> м – ангстрем,
<math>\mbox{eV} = 1.60218 \cdot 10^{-19}</math> Дж – электрон-вольт.
Минимальный период колебаний решетки в этих единицах – величина
порядка единицы. Функции, осуществляющей один шаг интегрирования
по времени, передается массив частиц и бокс. Имеются две
разновидности функций, которые можно использовать. Они определяют
вид граничных условий: условие отражения атомов от стенок бокса и
периодические граничные условия по двум направлениям в
пространстве. В экспериментах с пластинами использовалось второе
граничное условие, чтобы пластина фактически не имела свободных
краев.

Есть некоторая сложность, связанная с таким подходом. Дело в том,
что пространственный бокс имеет фиксированный размер. Это означает,
что при нагревании пластина переходит в напряженное состояние из-за
тепловых расширений. С другой стороны, такой подход позволяет задать
деформированную (растянутую) решетку в начальный момент времени.
Так как тепловые расширения малы, при нагревании напряжения в пластине
остаются напряжениями растягивающими. Эксперименты с атомами на поверхности
пластины показали, что деформации растяжения 3 процента практически
не влияют на поведение этих атомов.

Функция, осуществляющая один шаг интегрирования по времени, имеет
следующую структуру. В начале пространственный бокс разбивается на
кубические области. Размер ребра куба не меньше радиуса обрезания
<math>R + D</math>, определенного потенциалом взаимодействия. Это означает,
что каждый атом внутри одного куба может взаимодействовать только
с атомами внутри этого куба и атомами соседних кубов. Далее все
атомы сортируются по вышеописанным кубическим ячейкам. Чтобы
обеспечить условие периодичности, к граням бокса, на которых
поставлено это условие, добавляется по одному слою кубических
ячеек. В эти ячейки помещаются копии атомов из слоя кубических
ячеек, примыкающих к противоположной грани бокса. Затем следует
основной цикл – перебор всех частиц, находящихся в боксе, в
котором осуществляется приращение скоростей частиц за один шаг
интегрирования под действием сил. Для каждой частицы <math>(i)</math> определяется
набор частиц <math>(j_{n})</math>, с которыми она взаимодействует, исходя из
пространственного разбиения и радиуса взаимодействия. Затем,
внутри этого цикла вызывается функция, осуществляющая приращения
скоростей частиц <math>(i)</math> и <math>(j_{n})</math>, обусловленные слагаемыми
потенциала <math>V_{ij_{n}}</math>. Последняя функция производит вычисления
характерные для потенциала Терсоффа. Представление энергии в виде
<math>E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},</math>
является общим для всех потенциалов, поэтому функция,
осуществляющая шаг интегрирования по времени фактически не
привязана к способу взаимодействия. На завершающем этапе
рассматриваемая функция вычисляет приращения координат.

На этапе написания программа отлаживалась с использованием
[[Потенциал Морзе|потенциала Морзе]]. Потенциал Морзе не относится к многочастичным
потенциалам. Его вид отличается от выражения для <math>V_{ij_{n}}</math>
[[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциала Терсоффа]] тем, что
вместо коэффициента <math>b_{ij}</math>, вносящего многочастичность, используется
константа. Задаваемая равновесная конфигурация в виде решетки
структуры алмаза оказывалась неустойчивой, и атомы со временем
принимали структуру, близкую к плотноупакованной решетке.

* Вычисление температуры
Количественное выражение для температуры в
экспериментах связано с представлениями об идеальном газе, в
котором потенциальные взаимодействия отсутствуют. Равновесие
рассматриваемой атомной системы с идеальным газом предполагает
выравнивание средних кинетических энергий, приходящихся на один
атом. Поэтому температура в рассматриваемой системе считается
связанной с кинетической энергией так же, как она связана в
одноатомном идеальном газе. Коэффициент пропорциональности равен
<math>2 / (3k)</math>, где <math>k</math> – постоянная Больцмана.

При задании начальных скоростей атомам нельзя точно определить,
какая установится температура в кристалле после некоторого
промежутка времени, поскольку часть энергии перейдет в
потенциальную. Поэтому задается оценочная температура из
предположения, что в потенциальную энергию перейдет половина
энергии, сообщенной атомам, как в линейной системе. Затем, после
релаксации, измеряется установившаяся кинетическая энергия и,
соответственно, температура.

* Нагрев кристалла
На этапе отладки и тестирования программы, использующей
вышеописанный метод, проводились эксперименты, связанные в
основном с нагреванием и охлаждением кристаллической решетки.
Расчет проводился для пластины с поверхностью 1,1,1 толщиной 6
бислоев с периодическими граничными условиями на торцах. Подача
энергии в систему производилась равномерно по времени, т.е. полная
энергия системы линейно изменялась со  временем. При этом
отслеживалось изменение температуры.

Ниже приведены графики изменения кинетической (1) и полной (2)
энергии, значения на вертикальной шкале переведены в Кельвины.
Виден горизонтальный участок кривой при 1800 К, на котором,
видимо, происходит плавление.

 \showpix{image091}{396}{414}{5}

* Свободная поверхность 1,0,0
Ниже приведены результаты компьютерного эксперимента по нагреванию
кремниевой пластины с поверхностью 1,0,0. Верхняя грань кристалла,
изображенная на рисунках, является свободной (как и нижняя, не
видная на рисунках). На боковых гранях поставлены граничные
условия периодичности. Пластина была подвергнута нагреванию,
выдержке и охлаждению в течение одинаковых интервалов времени,
равных 1000 единиц времени (см. "Описание компьютерной модели").
Нагревание проводилось с помощью сообщения случайных приращений
скоростей атомам на каждом шаге интегрирования, охлаждение --- с
помощью введения диссипативных внешних сил, действующих на каждый
атом. На рисунках изображены состояния до и после нагревания до 700 К.

На первом рисунке видны ряды атомов поверхности пластины,
соответствующие идеальной решетке. На втором рисунке можно
наблюдать результат образования димерных рядов, что
свидетельствует о неустойчивости идеальной поверхности в данной
модели. Таким образом, проведенные расчеты качественно описывают
поведение поверхности 1,0,0, наблюдаемое в реальных экспериментах.

[[Файл:image092.png|thumb|Рис.1. Вид кристалла Si. Идеальная решетка (перед нагреванием).]]

[[Файл:image094.png|thumb|Рис.1. Рис.2. Вид кристалла Si после нагревания.]]