Редактирование: Моделирование поведения цепочки

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Садовченко Екатерина]]

'''Группа:'''  5030103/90101

'''Семестр:''' осень 2022


===Постановка задачи===
В рамках проекта необходимо смоделировать движение двумерной цепочки: провис цепочки и ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести.

===Математическая модель ===
Изначально запишем закон движения:
<math>
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\
   \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
</math> 

где 
<math>
   \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно, а <math> \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\  </math> - сила тяжести.
Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответсвующий орт:
<math>
   \underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|}
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
Аналогично записывается сила <math>\underline{F}_{i-1}</math>.

Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:

<math>
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| -l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\
</math>

Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах.

<math> \begin{cases}
V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\
X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t},
\end{cases} </math>

===Выводы===

В рамках решения задачи смоделировано движение цепочки под действием силы тяжести и проилюсстрирован тот факт, что ускорение крайней массы цепочки больше, чем ускорение свободно падающего тела. Данный эффект объясняется начальным преднатяжением цепочки. График разности координат крайней частицы и свободно падающего тела изменяется линейно до тех пор, пока тело не догонит конец цепочки.

===Код программы===
https://editor.p5js.org/Kssdvchenko/sketches/R-agsD747