| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 6: |
Строка 6: |
| | | | |
| | '''Семестр:''' осень 2022 | | '''Семестр:''' осень 2022 |
| − |
| |
| − | ===Постановка задачи===
| |
| − | В рамках проекта необходимо смоделировать движение одномерной цепочки: начальное положение (провисание) цепочки и дальнейшее ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести, а также исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени.
| |
| − |
| |
| − | ===Математическая модель ===
| |
| − | Изначально запишем закон движения:
| |
| − | <math>
| |
| − | m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\
| |
| − | \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
| |
| − | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно, а <math> \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\ </math> - сила тяжести.
| |
| − |
| |
| − | Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответствующий орт:
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|}
| |
| − | </math>, где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
| |
| − | Аналогично записывается сила <math>\underline{F}_{i-1}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| -l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах.
| |
| − |
| |
| − | <math> \begin{cases}
| |
| − | V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\
| |
| − | X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t},
| |
| − | \end{cases} </math>
| |
| − |
| |
| − | ===Результаты ===
| |
| − |
| |
| − | ===Выводы===
| |
| − |
| |
| − | В рамках решения задачи смоделировано движение цепочки под действием силы тяжести и проилюсстрирован тот факт, что ускорение крайней массы цепочки больше, чем ускорение свободно падающего тела. Данный эффект объясняется начальным преднатяжением цепочки.
| |
