Моделирование маятника Капицы — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Уравнение движения==
 
==Уравнение движения==
 
Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника  от времени определяет положение грузика[1]:
 
Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника  от времени определяет положение грузика[1]:
 
+
::<math>
 +
(\frac{\partial L}{\partial {\dot{\phi}}})'_t = \frac{\partial L}{\partial {\phi}},
 +
</math>
 
Дифференциальное уравнение, описывающие эволюцию фазы маятника
 
Дифференциальное уравнение, описывающие эволюцию фазы маятника
 
::<math>
 
::<math>
\ddot{\bf \phi} = -(a{\omega}^2*cos({\omega}t) + g)*sin({\phi})/l
+
\ddot{\bf \phi} = -(a{\omega}^2*cos({\omega}t) + g)*sin({\phi})/l,
 
</math>
 
</math>
 
нелинейно из-за имеющегося в нем множителя <math>sin({\phi})</math>. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.
 
нелинейно из-за имеющегося в нем множителя <math>sin({\phi})</math>. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.

Текущая версия на 10:03, 25 июня 2016

Виртуальная лаборатория>Моделирование маятника Капицы

Постановка задачи[править]

Ма́ятником Капицы называется система, состоящая из грузика, прикреплённого к лёгкой нерастяжимой спице, которая крепится к вибрирующему подвесу. Маятник носит имя академика и нобелевского лауреата П. Л. Капицы, построившего в 1951 г. теорию для описания такой системы. При неподвижной точке подвеса, модель описывает обычный математический маятник, для которого имеются два положения равновесия: в нижней точке и в верхней точке. При этом равновесие математического маятника в верхней точке является неустойчивым, и любое сколь угодно малое возмущение приводит к потере равновесия.

Уравнение движения[править]

Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа. Зависимость фазы маятника от времени определяет положение грузика[1]:

[math] (\frac{\partial L}{\partial {\dot{\phi}}})'_t = \frac{\partial L}{\partial {\phi}}, [/math]

Дифференциальное уравнение, описывающие эволюцию фазы маятника

[math] \ddot{\bf \phi} = -(a{\omega}^2*cos({\omega}t) + g)*sin({\phi})/l, [/math]

нелинейно из-за имеющегося в нем множителя [math]sin({\phi})[/math]. Наличие нелинейного слагаемого может приводить к хаотическому поведению и появлению странных аттракторов.

Графическая реализация[править]

Ссылки[править]