Моделирование кабель-троса в задаче буксировки методом сосредоточенных параметров — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 22 промежуточные версии этого же участника)
Строка 2: Строка 2:
 
''Автор работы'': [[Степанов Алексей | А.Д. Степанов]]<br>
 
''Автор работы'': [[Степанов Алексей | А.Д. Степанов]]<br>
 
''Руководитель'': к.т.н., зам главного конструктора бортовых систем ЗАО "Транзас" В. М. Амбросовский<br>
 
''Руководитель'': к.т.н., зам главного конструктора бортовых систем ЗАО "Транзас" В. М. Амбросовский<br>
−
==Предисловие==
+
==Введение==
−
''Данная работа включает в себя результаты, полученные в [[Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике | курсовом проекте по теоретической механике]], а также является продолжением освещенной в нем темы моделирования конструкции лука.''
+
Создание морских навигационных тренажеров, тренажеров маневрирования и управления движением судов, а так же создание отладочно-исследовательских стендов для настройки и исследования систем автоматического управления движением судов, требует наличия математических моделей, обеспечивающих моделирование судов и других морских подвижных объектов. Математические модели морских подвижных объектов, используемые в тренажерах и стендах должны обеспечивать необходимую точность и скорость формирования параметров движения морских подвижных объектов.
 +
 
 +
Одной из важных математических моделей, необходимых для морских тренажеров и стендов является математическая модель тросов или кабель-тросов, связывающих судно с буксируемым морским подвижным объектом или причалом.
 +
 
 +
Математические модели движения судов и  описываются хорошо известными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В отличии от этих моделей математическая модель связи, т.е. троса или кабель-троса, описывается уравнением в частных производных, что делает эту задачу более сложной.
  
−
==Введение==
+
Известны работы, в которых рассматривается задачи моделирования буксировочных тросов, связывающих буксир и буксируемое судно или задачи буксировки судном подводного аппарата. Однако в указанных работах не учитываются ограничения, связанные с конечной производительностью обычных компьютеров, используемых в тренажерах и стендах.
−
Лук является одним из первых механических устройств, созданных человеком. В наши дни такое оружие, как лук, все еще остается популярным. Современные спортивные луки используются в соревнованиях, в том числе, в Олимпийских играх. Большим спросом пользуются и классические охотничьи луки.<br>
 
−
Б.А. Виноградский в 2004 году проанализировал состояние и перспективы развития стрельбы из лука в мире по результатам XXVIII Олимпийских игр в Афинах. Резюмируя, он отметил, что развитие стрельбы из лука как вида спорта на международной арене можно оценить как стабильное, а также подчеркнул, что отмечается постепенный рост спортивного результата, ужесточение спортивной борьбы и повышение конкуренции. <br>
 
−
Краткий экскурс на тему основных понятий и принципов, касающихся темы стрельбы из лука, приведен в [[Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике | курсовом проекте по теоретической механике]].<br>
 
−
[[Файл:Block.png|200px|thumb|left|]]
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
В данной работе обратим внимание на принципиальное различие между классическим и блочным луком. Заключается оно в том, что в блочном луке плечи непосредственно изгибаются не тетивой, а тросами.<br>
 
−
При оттягивании тетивы она сматывается с блока большего радиуса и прокручивает его. На блок меньшего радиуса, вращающийся с ним синхронно, в это время наматывается силовой трос, соединенный с противоположным плечом. Таким образом, трос, наматываемый на верхний блок, сгибает нижнее плечо лука, а трос, наматываемый на нижний блок, сгибает верхнее плечо лука.<br>
 
−
Если с конструкции снять тросы и при этом оттягивать тетиву, то плечи не согнутся.
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
<br>
 
−
И.Ф. Заневский отметил «эволюцию» моделей, созданных рядом ученых. Так, С.Х. Хикман описал лук моделью, в которой плечи являются прямыми и недеформируемыми, между которыми располагаются идеальные шарниры с пружиной Архимеда, а концы которых соединены нерастяжимой тетивой. Б.В. Куи и Дж.А. Спаренберг в своей модели рассмотрели плечо лука в качестве упругой полосы. Среди российских работ в области создания математической модели лука можно подчеркнуть работу А.А. Лужина, который смоделировал плечи лука пластинами Кирхгофа – Лява, тетиву - нерастяжимой нитью, а стрелу – сосредоточенной массой. При этом задача решалась в линейной постановке для малых прогибов плеч. Разработка модели блочного лука представляет наибольший интерес в современном мире. Тем не менее, для того, чтобы перейти к ней, необходимо понимание характера процессов, происходящих в классических луках. Особое внимание уделяется азиатскому луку. Особенностью его конструкции являются негнущиеся концы плеч, называемые «ушами», благодаря которым усилие натяжения лука резко увеличивается в начале и гораздо более плавно - в конце. Модель такого лука описали в своей работе Б.В.Куи и Дж.А. Спаренберг и показали, что конструкция позволяет запасти больше энергии. Математическую модель блочного лука предложил Дж.Л. Парк.
 
  
 +
В настоящей работе рассмотрена задача разработки математической модели кабель-троса в задачи буксировки подводного заглубителя судном кабелеукладчиком для использования в морских тренажерах и стендах.
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
−
Целью является описание механической конструкции лука с помощью математического аппарата. В рамках данной работы внимание уделяется двум моделям. В одном случае плечи лука рассматриваются как абсолютно жесткие стержни, в другом у них имеется характеристика на изгиб.<br>
+
В работе рассматривается задача моделирования кабель-тороса, связывающего кабельное судно с подводным заглубителем, предназначенным для укладки кабеля с заглублением в грунт. Кабель-трос обеспечивает буксировку подводного заглубителя и подачу на него электропитания. Схематическое положение судна, подводного заглубителя и кабель-троса и их взаимодействие показано на рисунке:
−
Необходимо:<br>
+
[[Файл:PZ-tros-KS.jpg|200px|thumb|left|]]
−
* Найти зависимость силы натяжения лука от смещения тетивы, построить динамические кривые
+
Математическая модель движения кабельного судна в общем случае описывается обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями вида \cite{lukomskiy}:
−
* Найти зависимости энергии, накапливаемой в конструкции, от смещения тетивы
+
<center>
−
* Найти зависимости начальной скорости стрелы от смещения тетивы
+
<math>
−
* Провести сравнение полученных результатов с экспериментальными данными
+
m\underline{\dot{V}} = \underline{F}_{eng} + \underline{F}_{hidro} + \underline{F}_{aero} + \underline{F}_{Арх} + m\underline{g} + \underline{F}_{cable}
−
Также в рамках работы нужно продемонстрировать эффективность применения системы эксцентричных блоков в конструкции лука. Для этого<br>
+
</math>
−
* Разобрать в теории принцип действия конструкции
+
</center>
−
* Построить зависимость усилия натяга от смещения тетивы на основании экспериментальных данных
+
где <math> \underline{F}_{eng} </math> --- сила тяги двигателей, <math>\underline{F}_{hidro} </math> и <math> \underline{F}_{aero} </math> --- сила гидродинамического и аэродинамического сопротивления соотвественно, <math> \underline{F}_{cable} </math> --- сила, действующая со стороны кабель-троса.
 +
Аналогичным образом можно записать уравнение движения подводного заглубителя.
  
−
==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями==
+
Уравнение описывающее положение кабель-троса и значение вектора силы, приложенного к подводному заглубителю, в общем случае имеет вид \cite{suhorukov_dinam}:
−
==Модель лука с упругими стержнями==
+
<center>
−
==Эксперименты==
+
<math>
−
* Эксперимент с классическим луком
+
\rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial{\underline{T}(s,t)}}{\partial{s}}+\rho \underline{F}
−
[[Файл:Bow.jpg|200px|thumb|left|]]
+
</math>
−
<br><br>Эксперимент проводился с прямым симметричным луком. Материал плеч – стеклотекстолит.<br>
+
</center>
−
Ход выполнения эксперимента заключался в следующем: рукоять лука фиксировалась, затем к середине тетивы крепился груз известной массы, после чего с помощью рулетки измерялось значение смещения тетивы от положения, когда она не деформирована. Таким образом, снималась зависимость массы подвешиваемого груза от смещения тетивы, которая для дальнейших расчетов преобразовывалась в зависимость силы натяжения лука от указанного перемещения. <br><br><br><br>
+
С учетом определяющего соотношения для силы натяжения <math>
−
* Эксперимент с блочным луком
+
\underline{T} = f(\varepsilon)\dfrac{\partial{\underline{u}}}{\partial{s}}
−
[[Файл:Yastreb.jpg|200px|thumb|left|]]
+
</math>, уравнение принимает вид волнового уравнения, являющимся частным случаем уравнения гиперболического типа.
−
<br><br>Эксперимент проводился с блочным луком «Ястреб». Лук имеет стандартные эксцентричные блоки, карбоновые плечи и рукоять из алюминий - магниевого сплава.<br>
+
<center>
−
Ход эксперимента такой же, как и в случае с классическим луком.<br><br><br><br><br>
+
<math>
 +
\rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{s}^2}+\rho \underline{F}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
==Метод моделирования==
 +
В общем случае трос представляет собой весьма сложный нелинейный объект. Как было сказано, для решения поставленной задачи, можно использовать модель абсолютно гибкого растяжимого троса. Окружающей среда (морская вода) в рамках данной работы будет рассматриваться, как вязкая жидкость. Для конкретизации определяющих соотношений, надо принять следующие допущения:
 +
* трос и любой его сегмент подчиняется закону Гука;
 +
* можно пренебречь распределенными по длине троса крутящими моментами, которые возникают при действие на трос растягивающей силы\cite{kuvshin_monograf};
 +
* обтекание кабель-троса потоком набегающей жидкости всегда считается ламинарным.
 +
Эти предположения позволяют упростить уравнения и использовать метод сосредоточенных параметров.
 +
===Применение метода моделирования===
 +
Трос надо разбить на N элементов и N+1 узел. Нумерация узлов начинается с конца, соединенного с буксировщиком, первый элемент имеет номер N=1.
 +
Для разбиения выбирается длина <math>r_0 </math>, на основании которой вычисляется количество узлов, далее находим N по формуле <math> N = \dfrac{L}{r_0} </math> и жесткость <math> k_i = \dfrac{k}{N} </math>.
 +
Параметры узлов вычисляются следующим образом: масса <math> m_i = \dfrac{L\rho_{п}}{N+1}</math>, объем <math> V_i = r_0 S_{сечения} </math> и находятся площадь поверхности <math> S_{\tau} = r_0\pi D </math> и площадь сечения <math> S_{n}=r_0D </math>.
 +
===Уравнение движения узла===
 +
<center>
 +
<math>
 +
m_i \underline{\dot{V_i}} = \underline{F}_{elast_{i-1}}+ \underline{F}_{elast_{i+1}} + \underline{F}_{Arch} +  \underline{F}_{hidro} + m_{i}\underline{g}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Для <math>\underline{F}_{hidro} </math> можно записать определяющее соотношение в виде:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\underline{F}_{hidro} = C_{\tau}\frac{\rho{V_{\tau}}^2}{2}S_\tau\underline{\tau}+C_{n}\frac{\rho{V_{n}}^2}{2}S_n\underline{n}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Природа возникновения двух составляющих сил гидродинамического сопротивления различна: силы, направленные по направляющему вектору элемента троса <math> \underline{\tau} </math> объясняются возникновением трения вязкой жидкости о поверхность тела, силы направленные перпендикулярно этому вектору появляются из-за перепада давлений при поперечном обтекании цилиндра. Коэффициент сопротивления давления <math> С_{n} </math> зависит от числа Рейнольдса, определяемого по формуле <math> Re = \frac{V_nD}{\nu} </math>, и носит эксперементальный характер (см. \cite{prandtl} стр. 115, фиг. 58). Напротив, коэффициент сопротивления <math> C_{\tau} </math> находится из решении задача Блазиуса по формуле (см. \cite{prandtl} стр. 113)
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
C_{\tau} = \dfrac{1.327}{\sqrt{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re = \frac{V_{\tau}r_0}{\nu} < 5\cdot10^5 \\
 +
C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re > 5\cdot10^6 \\
 +
C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{Re}}-\dfrac{1700}{Re}, &  5\cdot10^5 < Re < 5\cdot10^6
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Где <math> \nu </math>--- кинематическая вязкость воды, <math> V_{\tau} </math> --- скорость движения узла относительно воды.
 +
 
 +
Для <math>\underline{F}_{elast}</math> определяющее соотношение выглядит следующим образом:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\underline{F}_{elast}=
 +
\begin{cases}
 +
k\dfrac{\left|\underline{r}\right|- r_{0} }{\left| \underline{r}\right| }\underline{r}, &\text{if}  \left| \underline{r}\right|  - r_0 \geqslant 0 \\
 +
0, &\text{else}
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Здесь <math> k </math> --- жесткость рассматриваемого элемента, <math> r_0 </math> --- его начальная длина, а <math> \left|\underline{r}\right| </math> --- вектор, соединяющий соседние узлы. Жесткость можно найти по формуле
 +
<center>
 +
<math>
 +
k=\dfrac{ES_{сечения}}{r_0}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Таким образом, видно, что трос представляет собой упругий элемент реагирующий на растяжение согласно закону Гука и не реагирующий на сжатие.
 +
 
 +
===Граничные условия===
 +
Для решения задачи используются силовые граничные условия. В выбранном методе моделирования постановка граничных условий сводится к заданию закона движения первому и последнему узлу, получившимся после разбиения.
 +
 
 +
Закон движения для первого узла, который оказывается связан с буксировщиком, принимается за закон движения буксировщика.
 +
<center>
 +
<math>
 +
\ddot{\underline{r}}_1 = \ddot{\underline{r}}_{towing}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Т.к. элемент с номером <math> N </math> совпадает с буксируемым объектом, его закон движения выглядит следующим образом:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left( m_{tow}+m_N\right)\dot{\underline{V}} = \underline{F}_{N-1}+\underline{F}_{hidro}+\underline{F}_{Arch}+m\underline{g}+\underline{F}_{frict}
 +
</math>
 +
</center>
 +
В данном уравнении впервые появляются параметры буксируемого объекта: <math> m_{tow} </math> --- его масса и <math> \underline{F}_{frict} </math> --- совокупная сила сопротивления, характерная только для объекта. Т.к. в решаемой задачи буксируемым объектом является подводный заглубитель, для нее было принято следующее выражение
 +
<center>
 +
<math>
 +
\underline{F}_{frict} = -\gamma ab V\underline{V} - \frac{\mu P_{eff}}{F_{N-1}}\underline{F}_{N-1}
 +
</math>
 +
</center>
 +
<math> \gamma </math> --- весовой коэффициент, <math>a</math>---глубина рыхления,  <math>b</math>--- толщина плуга, <math> P_{эф} </math> --- вес подводного заглубителя в воде. Формально, смотря на уравнение \eqref{eq:bc_2} под <math> P_{eff} </math> надо понимать вес в воде заглубителя и связанного с ним узла троса, но добавкой в виде элемента троса можно пренебречь, т.к. она мала в сравнении с массой заглубителя.
 +
 
 +
===Система координат===
 +
В задаче используется неподвижная система координат, связанная с землей.
 +
* Ось X направлена на север (соотвествует базисному вектору <math> \underline{i} </math>);
 +
* Ось Y направлена против действия силы тяжести(соотвествует базисному вектору <math> \underline{j} </math>);
 +
* Ось Z образует с первыми двумя правую тройку (соотвествует базисному вектору <math> \underline{k} </math>).
  
 
==Результаты==
 
==Результаты==
−
Для сравнения динамических кривых, построенных для двух моделей, описывающих лук, а также для определения расхождения их с динамической кривой, построенной по экспериментальным данным, учитывалось, что такие параметры лука, как длина плеча, а также начальное смещение тетивы в обеих моделях равны соответствующим параметрам реальной конструкции. Также было принято, что совпадают значения максимальной величины силы натяжения лука. <br>
+
===Введение===
−
Величина жесткости спиральной пружины в модели лука с абсолютно жесткими плечами определялась, исходя из соображений о том, что модель должна как можно точнее описывать реальную конструкцию.С этой целью использовался метод наименьших квадратов. Оказалось, что <math> c = 23.169</math> Нм .<br>
+
Целью настоящего раздела является проверка возможности использования полученной математической модели движения в составе математической модели движения комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.
−
Жесткость лука, описываемого моделью с упругими плечами, выражалась через значения модуля Юнга и момент инерции поперечного сечения плеча лука: <math>c = EI</math>. При этом для сравнения с экспериментом необходимо принять, что жесткость, используемая в модели, соответствует реальной жесткости плеча лука. Для этого необходимо равенство соответствующих модулей Юнга, а также моментов инерции поперечного сечения плеча лука. Момент инерции определяется следующей формулой:<br>
+
 
−
<math>I \ =\ \frac{bh^3}{12}</math>, где где <math>b</math> и <math>h</math> – ширина и высота поперечного сечения соответственно.<br>
+
Основными режимами, которые используются в качестве тестовых режимов в тренажерах и стендах и позволяют оценить характеристики полученной математической модели движения являются:
−
В реальной конструкции плечо лука имеет переменную ширину и постоянную высоту сечения. Экспериментально снятые значения зависимости ширины сечения от координаты вдоль плеча аппроксимировались линейной функцией, описываемой следующей формулой: <math>b = 0.0316s + 0.01</math>. В результате осреднения момента инерции по достаточно большому количеству точек оказалось, что <math> c_1 = 24.852</math><br>
+
* движения кабель-троса без подводного заглубителя;
−
[[Файл:F(x).bmp]]
+
* движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования;
−
[[Файл:E.bmp]]
+
* движение кабель-троса при изменении скорости хода судна;
−
[[Файл:V.bmp‎|left]]
+
* движение кабель-троса при обходе препятствия.
−
Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br>
+
===Движение кабель троса без подводного заглубителя===
−
Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.<br>
+
[[Файл:Pustoy tros.jpg|300px|thumb|left|]]
−
Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.<br>
+
На рисунке (Конфигурация троса при установившемся режиме движения) показана конфигурация кабель-троса в установившемся режиме движения. Форма кривой в значительной степени зависит от скорости движения системы.
−
[[Файл:Bl.bmp‎|left]]
+
===Движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования===
−
<br><br><br>
+
[[Файл:Korot_tros_y_pz.jpg|300px|thumb|left|]]
−
По экспериментальным данным для исследуемого блочного лука построена зависимость усилия натяжения лука, от смещения тетивы. Видно, что у графика имеется пик в точке, где сила натяжения лука является максимальной и составляет 20 кгс. После прохождения пика усилие, ощущаемое стрелком, падает, но при этом накопленная в деформируемых плечах луках мощность никуда не исчезает.
+
В данном разделе рассматривается пространственное движение комплекса при различных начальных условиях и скоростях буксировки.
 +
Первым рассмотренным режимом будет движение буксировщика с постоянной скоростью и длиной троса <math> L = 500 \text{м}</math> и глубиной водоема <math> 300\text{м} </math>. Как видно из графика, представленного на рисунке (Подъем буксируемого объекта при недостаточной длине троса), при продольной скорости буксировки <math> V_{букс_x} = 3 \text{m/s} </math> такой длины троса недостаточно для сохранения глубины работ: подводный заглубитель всплывает. Для дальнейшего моделирования выберем параметры задачи, чтобы сохранять глубину работ: <math> L  = 800 \text{м}</math> и <math> V_{букс_x} = 2 \text{м/с} </math>.
 +
 
 +
Одновременное изменение вертикальной и продольной скорости буксировщика по гармоническим законам приводит к наложению колебаний в скорости движения подводного заглубителя и образованию бигармонических колебаний.
 +
 
 +
[[Файл:Vel_sin_cos.jpg|300px|thumb|right|]]
 +
 
 +
 
 +
===Движение кабель-троса при изменении скорости хода судна===
 +
В данном разделе рассматривается движение системы при уменьшении продольной скорости буксировщика. В том случае, когда скорость буксировщика постоянная, при уменьшении скорости буксировщика скорость подводного заглубителья принимает такое же значение с небольшим запаздыванием (см рис. Изменение скорости подводного заглубителя при торможении буксировщика).
 +
[[Файл:vel_perem_close.jpg|300px|thumb|right|]]
  
 +
===Движение кабель-троса при обходе препятствия===
 +
Рассматривается движение комплекса при обходе препятствия, расположенного в горизонтальной плоскости. Для этого в процессе движения дается приращении поперечной скорости буксировщика, который таким образом начинает уклоняться от расположенного на его пути препятствия. Это оказывает влияние не только на поперечную скорость буксировщика, но и на его продольную скорость. Аналогичный процесс происходит при возвращении на изначальную траекторию движения. Траектории движения подводного заглубителя и буксировщика приведены на рисунке (Траектория движения объектов в процессе огибания).
 +
 +
[[Файл:track_manevr_uklon.jpg|300px|thumb|left|]]
 
==Заключение==
 
==Заключение==
−
С помощью математического аппарата описана конструкция классического лука. Рассмотрены две модели лука: в одной плечи представляют собой абсолютно жесткие стрежни, между которыми располагается спиральная пружина конечной жесткости, в другой плечи моделируются балками Бернулли – Эйлера, при этом задача решается в линейной постановке теории стержней. Получены характерные для моделей зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы. Показано, что в случае, когда плечи лука являются абсолютно жесткими, зависимость является кубической. Построены динамические кривые, описывающие обе модели. Проведен эксперимент с классическим прямым луком, на основе которого построена характерная для него динамическая кривая. Проведено сравнение полученных динамических кривых, в результате которого оказалось, что кривая, построенная для модели лука с упругими плечами, проходит ближе к кривой, построенной по экспериментальным данным, чем график, построенный для модели лука с абсолютно жесткими плечами. Было показано, что энергия и, следовательно, мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими плечами. Также показано, что график зависимости этой энергии от смещения тетивы для модели лука с упругими плечами проходит ближе к графику, построенному по экспериментально полученной зависимости, чем для модели лука с абсолютно жесткими плечами. Помимо этого были найдены зависимости начальной скорости, придаваемой стреле, от смещения тетивы. Оказалось, что график зависимости скорости стрелы, выпущенной из лука с упругими плечами, проходит ближе к соответствующему графику, построенному по экспериментальным данным, чем график данной зависимости для лука с абсолютно жесткими плечами. Таким образом, по всем исследуемым характеристикам конструкций модель лука с упругими плечами лучше описывает реальную конструкцию. Более того, показано, что лук с упругими плечами является эффективнее лука с жесткими плечами, т.к. он обладает большей мощностью.  
+
В работе предложена математическая модель движения кабель-троса, учитывающая переменные гидродинамические нагрузки и позволяющая моделировать движение кабель-троса в составе комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.
−
Рассмотрен блочный лук. Показано, что в случае эксцентричных блоков на динамической кривой имеется пик, в котором усилие максимально. После преодоления пика стрелку легче удерживать лук в натянутом состоянии, что позволяет ему дольше целиться. Так, система блоков позволяет конструировать более мощные луки.
+
 
 +
 
 +
Предложенная математическая модель движения обеспечивает моделирование всех основных режимов движения комплекса в реальном режиме времени в составе макета центрального поста управления кабельными операциями.
 +
 
 +
Предложенная математическая модель движения кабель-троса основана на использовании метода сосредоточенных параметров. Применение данного метода позволяет включить граничные условия в уравнение движения и вместо волнового уравнения интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения.
 +
 
 +
Проведены проверки предложенной математическо модели движения кабель-троса с помощью контрольного примера, имеющего аналитическое решение, и тестовых режимов движения комплекса.
 +
 
 +
Результаты работы были внедрены в ЗАО "Транзас" при проведении опытно-конструкторских работ.
 +
 
 +
[[Файл:actPriema.JPG|500px|thumb|center|]]
 +
==Список использованной литературы==
  
−
==Список использованных источников==
+
* Л. Прандтль, О. Титьенс, Гидро- и аэродинамика Том 2, ОНТИ НКТП СССР, 1935.
−
*Б.А. Виноградский. Анализ состояния и перспективы развития стрельбы из лука в мире с учетом результатов 28 Олимпийских игр в Афинах // Наука в олимпийском спорте – 2005 - № 2 - с. 60 – 68.
+
* Г. Е. Кувшинов, Л. А. Наумов, К. В. Чупина, Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов, Владивосток Дальнаука, 2005.
−
*I.F. Zaniewski. Modeling of the archery bow and arrow vibrations // Shock and Vibration – 2009 - №3 - p. 307 – 317.
+
* А. Л. Сухоруков, Динамика тросовых систем, Санкт-Петербург, 2004.
−
*С. Кондратьев. Термины в стрельбе из лука [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт] – 2011 – URL: http://www.archery-sila.ru/
+
* Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова, Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач, Новосибирск: НГТУ, 2007.
−
*Э. Макьюэн, А. Миллер, А. Бергман. Конструкция и изготовление древних луков. // В мире науки – 1991 - № 8 - с. 38–75.
+
* Ю. И. Юдин, С. В. Пашенцев, В. В. Каян, Расчет усилий, действующих на объекты буксировки со стороны буксирной связи, Вестник МГТУ, том 16, №1, 2013.
−
*В.Н. Казанцев. Пособие для начинающих лучников [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт ] – 2009 – URL: http://www.archery-sila.ru/
+
* Iordan C. Matulea, Alexandru N stase, Nicoleta T lmaciu, Georgic  Slamnoiu, A.M. Goncalves-Coelho, On the equilibrium configuration of mooring and towing cables, Applied Ocean Research, 2008.
−
*И.Ф. Заневский. Компьютерная модель внутренней баллистики стрелы лука // Сборник научных трудов "Вестник НТУ "ХПИ": Информатика и моделирование – 2011 - №36 - c. 78 – 86.
+
* Ю. А. Лукомский, В. М. Корчанов, Управление морскими подвижными объектами, Санкт-Петербург, 1996.
−
*C.N. Hickman. Dynamics of a bow and arrow // Journal of Applied Physics – 1937 - V. 8 - p. 404-409.  
+
* А. Н. Крылов, Собрание трудов, т. IX. Теория корабля, ч.2. М.-Л.: изд-во АН СССР, 1936-1949.
−
*B.W. Kooi, J.A. Sparenberg. On the static deformation of a bow // Journal of Engineering Mathematics – 1980 - V. 14, № 1 - p. 27-45.  
+
* П. П. Кульмач, Якорные системы удержания плавучих объектов, издательство <<Судостроение>>, 1980.
−
*А.А. Лужин. Моделирование выстрела из лука: дис. на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Москва, 2008 - 103 с.  
+
* W.Raman-Nair, R. E. Baddour, Three-dimensional coupled dynamics of a buoy and multiple mooring lines: formulation and algorithm, Oxford University Press, 2002.
−
*T.M. Hamilton. Native American Bow. Columbia: Published by Missouri Archeological Society, 1982 – 148 p.
 
−
*J.L. Park. The behaviour of an arrow shot from a compound archery bow // Proc. Of the IMechE, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology. – 2011. – V. 225, № 8. – p. 8 - 21.  
 
−
*П.А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2007 - 101 с.
 
−
*J.E. Gordon. Structures, or why Things don't Fall Down. Harmondsworth: Published by the Penguin Books, 1978 – 395 p.
 

Текущая версия на 20:44, 16 июня 2014

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: А.Д. Степанов
Руководитель: к.т.н., зам главного конструктора бортовых систем ЗАО "Транзас" В. М. Амбросовский

Введение[править]

Создание морских навигационных тренажеров, тренажеров маневрирования и управления движением судов, а так же создание отладочно-исследовательских стендов для настройки и исследования систем автоматического управления движением судов, требует наличия математических моделей, обеспечивающих моделирование судов и других морских подвижных объектов. Математические модели морских подвижных объектов, используемые в тренажерах и стендах должны обеспечивать необходимую точность и скорость формирования параметров движения морских подвижных объектов.

Одной из важных математических моделей, необходимых для морских тренажеров и стендов является математическая модель тросов или кабель-тросов, связывающих судно с буксируемым морским подвижным объектом или причалом.

Математические модели движения судов и описываются хорошо известными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В отличии от этих моделей математическая модель связи, т.е. троса или кабель-троса, описывается уравнением в частных производных, что делает эту задачу более сложной.

Известны работы, в которых рассматривается задачи моделирования буксировочных тросов, связывающих буксир и буксируемое судно или задачи буксировки судном подводного аппарата. Однако в указанных работах не учитываются ограничения, связанные с конечной производительностью обычных компьютеров, используемых в тренажерах и стендах.

В настоящей работе рассмотрена задача разработки математической модели кабель-троса в задачи буксировки подводного заглубителя судном кабелеукладчиком для использования в морских тренажерах и стендах.

Постановка задачи[править]

В работе рассматривается задача моделирования кабель-тороса, связывающего кабельное судно с подводным заглубителем, предназначенным для укладки кабеля с заглублением в грунт. Кабель-трос обеспечивает буксировку подводного заглубителя и подачу на него электропитания. Схематическое положение судна, подводного заглубителя и кабель-троса и их взаимодействие показано на рисунке:

PZ-tros-KS.jpg

Математическая модель движения кабельного судна в общем случае описывается обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями вида \cite{lukomskiy}:

[math] m\underline{\dot{V}} = \underline{F}_{eng} + \underline{F}_{hidro} + \underline{F}_{aero} + \underline{F}_{Арх} + m\underline{g} + \underline{F}_{cable} [/math]

где [math] \underline{F}_{eng} [/math] --- сила тяги двигателей, [math]\underline{F}_{hidro} [/math] и [math] \underline{F}_{aero} [/math] --- сила гидродинамического и аэродинамического сопротивления соотвественно, [math] \underline{F}_{cable} [/math] --- сила, действующая со стороны кабель-троса. Аналогичным образом можно записать уравнение движения подводного заглубителя.

Уравнение описывающее положение кабель-троса и значение вектора силы, приложенного к подводному заглубителю, в общем случае имеет вид \cite{suhorukov_dinam}:

[math] \rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial{\underline{T}(s,t)}}{\partial{s}}+\rho \underline{F} [/math]

С учетом определяющего соотношения для силы натяжения [math] \underline{T} = f(\varepsilon)\dfrac{\partial{\underline{u}}}{\partial{s}} [/math], уравнение принимает вид волнового уравнения, являющимся частным случаем уравнения гиперболического типа.

[math] \rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{s}^2}+\rho \underline{F} [/math]

Метод моделирования[править]

В общем случае трос представляет собой весьма сложный нелинейный объект. Как было сказано, для решения поставленной задачи, можно использовать модель абсолютно гибкого растяжимого троса. Окружающей среда (морская вода) в рамках данной работы будет рассматриваться, как вязкая жидкость. Для конкретизации определяющих соотношений, надо принять следующие допущения:

  • трос и любой его сегмент подчиняется закону Гука;
  • можно пренебречь распределенными по длине троса крутящими моментами, которые возникают при действие на трос растягивающей силы\cite{kuvshin_monograf};
  • обтекание кабель-троса потоком набегающей жидкости всегда считается ламинарным.

Эти предположения позволяют упростить уравнения и использовать метод сосредоточенных параметров.

Применение метода моделирования[править]

Трос надо разбить на N элементов и N+1 узел. Нумерация узлов начинается с конца, соединенного с буксировщиком, первый элемент имеет номер N=1. Для разбиения выбирается длина [math]r_0 [/math], на основании которой вычисляется количество узлов, далее находим N по формуле [math] N = \dfrac{L}{r_0} [/math] и жесткость [math] k_i = \dfrac{k}{N} [/math]. Параметры узлов вычисляются следующим образом: масса [math] m_i = \dfrac{L\rho_{п}}{N+1}[/math], объем [math] V_i = r_0 S_{сечения} [/math] и находятся площадь поверхности [math] S_{\tau} = r_0\pi D [/math] и площадь сечения [math] S_{n}=r_0D [/math].

Уравнение движения узла[править]

[math] m_i \underline{\dot{V_i}} = \underline{F}_{elast_{i-1}}+ \underline{F}_{elast_{i+1}} + \underline{F}_{Arch} + \underline{F}_{hidro} + m_{i}\underline{g} [/math]

Для [math]\underline{F}_{hidro} [/math] можно записать определяющее соотношение в виде:

[math] \underline{F}_{hidro} = C_{\tau}\frac{\rho{V_{\tau}}^2}{2}S_\tau\underline{\tau}+C_{n}\frac{\rho{V_{n}}^2}{2}S_n\underline{n} [/math]

Природа возникновения двух составляющих сил гидродинамического сопротивления различна: силы, направленные по направляющему вектору элемента троса [math] \underline{\tau} [/math] объясняются возникновением трения вязкой жидкости о поверхность тела, силы направленные перпендикулярно этому вектору появляются из-за перепада давлений при поперечном обтекании цилиндра. Коэффициент сопротивления давления [math] С_{n} [/math] зависит от числа Рейнольдса, определяемого по формуле [math] Re = \frac{V_nD}{\nu} [/math], и носит эксперементальный характер (см. \cite{prandtl} стр. 115, фиг. 58). Напротив, коэффициент сопротивления [math] C_{\tau} [/math] находится из решении задача Блазиуса по формуле (см. \cite{prandtl} стр. 113)

[math] \begin{cases} C_{\tau} = \dfrac{1.327}{\sqrt{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re = \frac{V_{\tau}r_0}{\nu} \lt 5\cdot10^5 \\ C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re \gt 5\cdot10^6 \\ C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{Re}}-\dfrac{1700}{Re}, & 5\cdot10^5 \lt Re \lt 5\cdot10^6 \end{cases} [/math]

Где [math] \nu [/math]--- кинематическая вязкость воды, [math] V_{\tau} [/math] --- скорость движения узла относительно воды.

Для [math]\underline{F}_{elast}[/math] определяющее соотношение выглядит следующим образом:

[math] \underline{F}_{elast}= \begin{cases} k\dfrac{\left|\underline{r}\right|- r_{0} }{\left| \underline{r}\right| }\underline{r}, &\text{if} \left| \underline{r}\right| - r_0 \geqslant 0 \\ 0, &\text{else} \end{cases} [/math]

Здесь [math] k [/math] --- жесткость рассматриваемого элемента, [math] r_0 [/math] --- его начальная длина, а [math] \left|\underline{r}\right| [/math] --- вектор, соединяющий соседние узлы. Жесткость можно найти по формуле

[math] k=\dfrac{ES_{сечения}}{r_0} [/math]

Таким образом, видно, что трос представляет собой упругий элемент реагирующий на растяжение согласно закону Гука и не реагирующий на сжатие.

Граничные условия[править]

Для решения задачи используются силовые граничные условия. В выбранном методе моделирования постановка граничных условий сводится к заданию закона движения первому и последнему узлу, получившимся после разбиения.

Закон движения для первого узла, который оказывается связан с буксировщиком, принимается за закон движения буксировщика.

[math] \ddot{\underline{r}}_1 = \ddot{\underline{r}}_{towing} [/math]

Т.к. элемент с номером [math] N [/math] совпадает с буксируемым объектом, его закон движения выглядит следующим образом:

[math] \left( m_{tow}+m_N\right)\dot{\underline{V}} = \underline{F}_{N-1}+\underline{F}_{hidro}+\underline{F}_{Arch}+m\underline{g}+\underline{F}_{frict} [/math]

В данном уравнении впервые появляются параметры буксируемого объекта: [math] m_{tow} [/math] --- его масса и [math] \underline{F}_{frict} [/math] --- совокупная сила сопротивления, характерная только для объекта. Т.к. в решаемой задачи буксируемым объектом является подводный заглубитель, для нее было принято следующее выражение

[math] \underline{F}_{frict} = -\gamma ab V\underline{V} - \frac{\mu P_{eff}}{F_{N-1}}\underline{F}_{N-1} [/math]

[math] \gamma [/math] --- весовой коэффициент, [math]a[/math]---глубина рыхления, [math]b[/math]--- толщина плуга, [math] P_{эф} [/math] --- вес подводного заглубителя в воде. Формально, смотря на уравнение \eqref{eq:bc_2} под [math] P_{eff} [/math] надо понимать вес в воде заглубителя и связанного с ним узла троса, но добавкой в виде элемента троса можно пренебречь, т.к. она мала в сравнении с массой заглубителя.

Система координат[править]

В задаче используется неподвижная система координат, связанная с землей.

  • Ось X направлена на север (соотвествует базисному вектору [math] \underline{i} [/math]);
  • Ось Y направлена против действия силы тяжести(соотвествует базисному вектору [math] \underline{j} [/math]);
  • Ось Z образует с первыми двумя правую тройку (соотвествует базисному вектору [math] \underline{k} [/math]).

Результаты[править]

Введение[править]

Целью настоящего раздела является проверка возможности использования полученной математической модели движения в составе математической модели движения комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.

Основными режимами, которые используются в качестве тестовых режимов в тренажерах и стендах и позволяют оценить характеристики полученной математической модели движения являются:

  • движения кабель-троса без подводного заглубителя;
  • движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования;
  • движение кабель-троса при изменении скорости хода судна;
  • движение кабель-троса при обходе препятствия.

Движение кабель троса без подводного заглубителя[править]

Pustoy tros.jpg

На рисунке (Конфигурация троса при установившемся режиме движения) показана конфигурация кабель-троса в установившемся режиме движения. Форма кривой в значительной степени зависит от скорости движения системы.

Движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования[править]

Korot tros y pz.jpg

В данном разделе рассматривается пространственное движение комплекса при различных начальных условиях и скоростях буксировки. Первым рассмотренным режимом будет движение буксировщика с постоянной скоростью и длиной троса [math] L = 500 \text{м}[/math] и глубиной водоема [math] 300\text{м} [/math]. Как видно из графика, представленного на рисунке (Подъем буксируемого объекта при недостаточной длине троса), при продольной скорости буксировки [math] V_{букс_x} = 3 \text{m/s} [/math] такой длины троса недостаточно для сохранения глубины работ: подводный заглубитель всплывает. Для дальнейшего моделирования выберем параметры задачи, чтобы сохранять глубину работ: [math] L = 800 \text{м}[/math] и [math] V_{букс_x} = 2 \text{м/с} [/math].

Одновременное изменение вертикальной и продольной скорости буксировщика по гармоническим законам приводит к наложению колебаний в скорости движения подводного заглубителя и образованию бигармонических колебаний.

Vel sin cos.jpg


Движение кабель-троса при изменении скорости хода судна[править]

В данном разделе рассматривается движение системы при уменьшении продольной скорости буксировщика. В том случае, когда скорость буксировщика постоянная, при уменьшении скорости буксировщика скорость подводного заглубителья принимает такое же значение с небольшим запаздыванием (см рис. Изменение скорости подводного заглубителя при торможении буксировщика).

Vel perem close.jpg

Движение кабель-троса при обходе препятствия[править]

Рассматривается движение комплекса при обходе препятствия, расположенного в горизонтальной плоскости. Для этого в процессе движения дается приращении поперечной скорости буксировщика, который таким образом начинает уклоняться от расположенного на его пути препятствия. Это оказывает влияние не только на поперечную скорость буксировщика, но и на его продольную скорость. Аналогичный процесс происходит при возвращении на изначальную траекторию движения. Траектории движения подводного заглубителя и буксировщика приведены на рисунке (Траектория движения объектов в процессе огибания).

Track manevr uklon.jpg

Заключение[править]

В работе предложена математическая модель движения кабель-троса, учитывающая переменные гидродинамические нагрузки и позволяющая моделировать движение кабель-троса в составе комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.


Предложенная математическая модель движения обеспечивает моделирование всех основных режимов движения комплекса в реальном режиме времени в составе макета центрального поста управления кабельными операциями.

Предложенная математическая модель движения кабель-троса основана на использовании метода сосредоточенных параметров. Применение данного метода позволяет включить граничные условия в уравнение движения и вместо волнового уравнения интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Проведены проверки предложенной математическо модели движения кабель-троса с помощью контрольного примера, имеющего аналитическое решение, и тестовых режимов движения комплекса.

Результаты работы были внедрены в ЗАО "Транзас" при проведении опытно-конструкторских работ.

ActPriema.JPG

Список использованной литературы[править]

  • Л. Прандтль, О. Титьенс, Гидро- и аэродинамика Том 2, ОНТИ НКТП СССР, 1935.
  • Г. Е. Кувшинов, Л. А. Наумов, К. В. Чупина, Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов, Владивосток Дальнаука, 2005.
  • А. Л. Сухоруков, Динамика тросовых систем, Санкт-Петербург, 2004.
  • Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова, Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач, Новосибирск: НГТУ, 2007.
  • Ю. И. Юдин, С. В. Пашенцев, В. В. Каян, Расчет усилий, действующих на объекты буксировки со стороны буксирной связи, Вестник МГТУ, том 16, №1, 2013.
  • Iordan C. Matulea, Alexandru N stase, Nicoleta T lmaciu, Georgic  Slamnoiu, A.M. Goncalves-Coelho, On the equilibrium configuration of mooring and towing cables, Applied Ocean Research, 2008.
  • Ю. А. Лукомский, В. М. Корчанов, Управление морскими подвижными объектами, Санкт-Петербург, 1996.
  • А. Н. Крылов, Собрание трудов, т. IX. Теория корабля, ч.2. М.-Л.: изд-во АН СССР, 1936-1949.
  • П. П. Кульмач, Якорные системы удержания плавучих объектов, издательство <<Судостроение>>, 1980.
  • W.Raman-Nair, R. E. Baddour, Three-dimensional coupled dynamics of a buoy and multiple mooring lines: formulation and algorithm, Oxford University Press, 2002.
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_кабель-троса_в_задаче_буксировки_методом_сосредоточенных_параметров&oldid=26319»