Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Васильева Анастасия
Группа: 43604/1
Семестр: осень 2018
Постановка задачи
Рассмотрим движения движение цепочки связанных гармонических осцилляторов под действием вынуждающей силы. Проводимое рассмотрение ограничим случаем, когда сила приложена к т. А колебательной системы, что для достаточно длинных цепочек не приводит, к потере общности получаемых результатов.
Решение
Система дифференциальных уравнений, описывающих движение каждого тела системы, имеет следующий вид:
Решения системы будем искать численно. Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MATLAB находится в соответствие со следующим алгоритмом:
1. задать вектор-функцию, возвращающую значения первых производных системы ДУ (размерность функции 2N);
2. задать вектор, содержащий начальные условия (xi(0), i(0), i=1,2,...,N-1);
3. обратиться к одной из функций, возвращающих таблицу, содержащую численное решение системы ДУ, например, функции ode45;
4. провести визуализацию полученных численных решений.
Описание функции, возвращающей значения первых производных системы ДУ, мы разместили в файле Euler2.m.
В основном файле представлено решение для нахождения и визуализации численного решения системы ДУ, описывающих систему, совершающую свободные колебания.
Зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени представлена ниже на рисунке.
Одной из основных проблем численного решения ДУ и систем ДУ является проблема выбора шага интегрирования, поскольку при достаточно большом шаге интегрирования возникают неустойчивые решения, т.е. решения, погрешность которых начинает возрастать во времени экспоненциально быстро. Один из способов проверки устойчивости метода заключается в контроле величины полной энергии, которая в случае свободных колебаний должна сохраняться, поэтому для проверки правильности выбора шага интегрирования можно использовать следующий алгоритм:
1) Задать начальные смещения и скорости тел цепочки связанных осцилляторов.
2) Задать временной интервал, на котором ищется решение системы ДУ.
3) Задать число точек, в которых ищется численное решение системы ДУ.
4) Найти решение системы ДУ.
5) Вычислить значения энергии системы связанных осцилляторов в каждый момент времени.
6) Проанализировать изменение энергии системы во времени на заданном временном интервале и оценить точность выполнения закона сохранения энергии.
7) При неудовлетворительной точности решения повторить пп. 3-6.
8) При удовлетворительной точности решения перейти к анализу вынужденных колебаний.
Используя описанный выше документ, можно найти, например, зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени под действием вынуждающей силы. Для этого следует в приведенных в программах задать отличными от нуля значения переменных A и Omega, например, для А=0.2 и Omega = 0.4.
