Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов''' <HR>
+
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Моделирование свободных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов''' <HR>
  
 
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
Строка 11: Строка 11:
 
===Постановка задачи===
 
===Постановка задачи===
  
−
Рассмотрим движения движение цепочки связанных гармонических осцилляторов под действием вынуждающей силы. Проводимое рассмотрение ограничим случаем, когда сила приложена к т. А колебательной системы, что для достаточно длинных цепочек не приводит, к потере общности получаемых результатов.
+
Рассмотрим движения движение цепочки связанных гармонических осцилляторов - модель, представляющая собой систему шариков с массами m, cвязанных между собой пружинками одинаковой жесткости k.
 +
 
 
[[File:1dfgs.jpg|center]]
 
[[File:1dfgs.jpg|center]]
  
 
===Решение===
 
===Решение===
  
−
Система дифференциальных уравнений, описывающих движение каждого тела системы, имеет следующий вид:
+
Запишем уравнения движения для каждой массы колебательной системы (1):
−
 
 
−
[[File:2bhgj.jpg|center]]
 
−
 
 
−
Решения системы будем искать численно. Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MATLAB находится в соответствие со следующим алгоритмом:
 
−
 
 
−
1. задать вектор-функцию, возвращающую значения первых производных системы ДУ (размерность функции 2N);
 
−
 
 
−
2. задать вектор, содержащий начальные условия (xi(0), i(0), i=1,2,...,N-1);
 
−
 
 
−
3. обратиться к одной из функций, возвращающих таблицу, содержащую численное решение системы ДУ, например, функции ode45;
 
−
 
 
−
4. провести визуализацию полученных численных решений.
 
−
 
 
−
Описание функции, возвращающей значения первых производных системы ДУ, мы разместили в файле Euler2.m.
 
  
−
В основном файле представлено решение для нахождения и визуализации численного решения системы ДУ, описывающих систему, совершающую свободные колебания.
+
[[File:1 1.jpg|center]]
  
−
Зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени представлена ниже на рисунке.
+
Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение (1), введя обозначение
  
−
[[File:3fgd.jpg|center]]
+
[[File:1 12.png|center]]
  
−
Одной из основных проблем численного решения ДУ и систем ДУ является проблема выбора шага интегрирования, поскольку при достаточно большом шаге интегрирования возникают неустойчивые решения, т.е. решения, погрешность которых начинает возрастать  во времени  экспоненциально  быстро. Один из способов проверки устойчивости метода заключается в контроле величины полной энергии, которая в случае свободных колебаний должна сохраняться, поэтому для проверки правильности выбора шага интегрирования можно использовать следующий алгоритм:
+
в следующем виде (2):
  
−
1) Задать начальные смещения и скорости тел цепочки связанных осцилляторов.
+
[[File:2 1.jpg|center]]
  
−
2) Задать временной интервал, на котором ищется решение системы ДУ.
+
Ищем решение системы дифференциальных уравнений в виде (3):
  
−
3) Задать число точек, в которых ищется численное решение системы ДУ.
+
[[File:3 1.jpg|center]]
  
−
4) Найти решение системы ДУ.
+
Подставив (3) в систему (2), сгруппировав члены, и записав систему в матричном виде, получим (4):
  
−
5) Вычислить значения энергии системы связанных осцилляторов в каждый момент времени.
+
[[File:4 1.jpg|center]]
  
−
6) Проанализировать изменение энергии системы во времени на заданном временном интервале и оценить точность выполнения закона сохранения энергии.
+
B - трехдиагональная матрица, элементы которой вычисляются по следующим правилам (5):
  
−
7) При неудовлетворительной точности решения повторить пп. 3-6.
+
[[File:5 1.jpg|center]]
  
−
8) При удовлетворительной точности решения перейти к анализу вынужденных колебаний.
+
Алгоритм  решения данной задачи реализуется в MATLAB.
  
−
Используя описанный выше документ, можно найти, например, зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени под действием вынуждающей силы. Для этого следует в приведенных в программах задать отличными от нуля значения переменных A и Omega, например, для А=0.2 и Omega = 0.4.
+
Результат работы можно посмотреть на графике зависимости значений смещений тел от времени:
  
−
[[File:Untitleddfdf.jpg|сenter]]
+
[[File:M=1,k=5,R1=0.5,N=50.gif|center]]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 21:10, 26 января 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Моделирование свободных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Васильева Анастасия

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи

Рассмотрим движения движение цепочки связанных гармонических осцилляторов - модель, представляющая собой систему шариков с массами m, cвязанных между собой пружинками одинаковой жесткости k.

1dfgs.jpg

Решение

Запишем уравнения движения для каждой массы колебательной системы (1):

1 1.jpg

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение (1), введя обозначение

1 12.png

в следующем виде (2):

2 1.jpg

Ищем решение системы дифференциальных уравнений в виде (3):

3 1.jpg

Подставив (3) в систему (2), сгруппировав члены, и записав систему в матричном виде, получим (4):

4 1.jpg

B - трехдиагональная матрица, элементы которой вычисляются по следующим правилам (5):

5 1.jpg

Алгоритм решения данной задачи реализуется в MATLAB.

Результат работы можно посмотреть на графике зависимости значений смещений тел от времени:

M=1,k=5,R1=0.5,N=50.gif

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_вынужденных_колебаний_цепочки_связанных_гармонических_осцилляторов&oldid=52570»