Мещерский 48.46

Задача 48.46 из сборника задач Мещерского: определить движение системы и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Формулировка задачи

Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень(ось Ох), а массы связанны пружиной жёсткости С и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряжённой пружине равно l; начальное состояние системы при t=0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: x1=0, x1'=u0, x2=l, x2'=0.

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)[/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем [math] x_1 [/math] и [math] x_2 [/math]

Представим:

[math]T = T_1+T_2[/math], где [math]T_1[/math] - кинетическая энергия массы 1, а [math]T_2[/math] - кинетическая энергия массы 2

[math]T_1 = \frac{1}{2}m_1\dot x_1^{2} [/math] и [math]T_2 = \frac{1}{2}m_2\dot x_2^{2}[/math]

Потенциальная энергия системы определяется силой упругости пружины:

[math]П=\frac{1}{2}C(x_2-x_1-l)^{2}[/math]

В результате будем иметь

[math]m_1\ddot x_1=Cx_2-x_1-l[/math] и [math]m_2\ddot x_2=-C(x_2-x_1-l)[/math]

Получаем уравнение движения:

[math]x_1=\frac{1}{m_1+m_2}(m_1u_0t+\frac{m_2u_0}{k}\sin(kt))[/math] [math]x_2=\frac{1}{m_1+m_2}(m_1u_0t-\frac{m_1u_0}{k}\sin(kt))+l[/math]