Мещерский 48.39

Задача 48.39 из сборника задач Мещерского: составить дифференциальные уравнения малых колебаний и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Формулировка задачи

Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь.

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , (i = 1,2)[/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы [math]\varphi [/math] и [math]\alpha [/math].

В случае малых колебаний: [math](m_1+m2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0[/math]