Редактирование: Мещерский 48.39

'''Задача 48.39 из сборника задач Мещерского:''' составить дифференциальные уравнения малых колебаний и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

==Формулировка задачи==
Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь.
==Решение задачи==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0  ,  (i = 1,2)</math> , где
 L = T - П - функция Лагранжа
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\alpha </math>.

В случае малых колебаний:
<math>(m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0</math>

== Решение ==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/SorokinaVV/4.html |width=1050 |height=600|border=0}}
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
   q - независимые обобщенные координаты
-В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\alpha </math>
+В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\alpha </math>.
-Представим:
-<math>T = T_1+T_2</math>, где <math>T_1</math> - кинетическая энергия точки А, а <math>T_2</math> - кинетическая энергия точки В
-:
-<math>T_1 = \frac{1}{2}m_1l^{2}\dot\alpha^{2}</math>        <math>T_2 = \frac{1}{2}m_2V^{2}</math>
-Где  <math>V</math> - абсолютная скорость точки В
-<math>V = V_п+V_о</math>
-<math>V_п</math> - переносная скорость, <math>V_о</math> - относительная скорость.
-Учтём, что
-<math>V_п=l\dot α</math>,<math>V_о=l\dot\varphi</math>
-Тогда
-<math>V^{2}=l^{2}\dot\alpha^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha)</math>
-<math>T=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))</math>
-Потенциальная энергия системы определяется силами тяжести точек А и В:
-<math>П=-m_1gl\cos(\alpha)-m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)</math>
-В результате будем иметь
-<math>L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))+m_1gl\cos(\alpha)+m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)</math>
 В случае малых колебаний:
+<math>(m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0</math>
-<math>(m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0</math>, <math>l\ddot\varphi+l\ddot\alpha+g\varphi=0</math>
 == Решение ==
 {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/SorokinaVV/4.html |width=1050 |height=600|border=0}}