Мещерский 48.25

Условие задачи

Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной О1О2. Предполагая, что оси О1О2 и О3G являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.

Решение задачи

Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера

[math]A\dot ω_A + (C-B)ω_Bω_C = M_A[/math], где

[math]A,B,C[/math] - главные моменты инерции относительно осей [math]O_1O_2[/math] и [math]O_3G[/math].

[math]ω_A[/math], [math]ω_B[/math] и [math]ω_C[/math] - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно

[math]М_А[/math] - момент сил относительно оси с моментом инерции А

Можно заметить, что [math]\dot ω_A[/math] - это вторая производная угла [math]ϑ[/math], т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.

Рамка вращается с угловой скоростью [math]ω[/math]. Эту скорость можно разложить по составляющим [math]ωCosϑ[/math] и [math]ωSinϑ[/math] - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.

Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен

[math]М_А = -mglSinϑ[/math]

Таким образом, получаем уравнение движения тела

[math]A\ddot ϑ + (C-B)ω^{2}SinϑCosϑ = -mglSinϑ[/math], где

[math]ϑ[/math] - угол отклонения от горизонтальной части рамки