Мещерский 48.25 — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Решение задачи)
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 5: Строка 5:
 
==Решение задачи==
 
==Решение задачи==
  
 +
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера
 +
:
 +
<math>A\dot ω_A + (C-B)ω_Bω_C = M_A</math>, где
 +
 +
<math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math>.
 +
 +
<math>ω_A</math>, <math>ω_B</math> и <math>ω_C</math> - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно
 +
 +
<math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А
 +
 +
Можно заметить, что <math>\dot ω_A</math> - это вторая производная угла <math>ϑ</math>, т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.
 +
 +
Рамка вращается с угловой скоростью <math>ω</math>. Эту скорость можно разложить по составляющим <math>ωCosϑ</math> и <math>ωSinϑ</math> - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.
 +
 +
Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен
 +
:
 +
<math>М_А = -mglSinϑ</math>
 +
 +
Таким образом, получаем уравнение движения тела
 +
:
 +
<math>A\ddot ϑ + (C-B)ω^{2}SinϑCosϑ = -mglSinϑ</math>, где
 +
 +
<math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки
  
 
==Визуализация задачи==
 
==Визуализация задачи==
  
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Vilchevskaya%20AE/zadacha_is_Mescherskii.html |width=850 |height=400 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Vilchevskaya%20AE/zadacha_is_Mescherskii.html |width=850 |height=400 |border=0 }}

Текущая версия на 20:21, 24 декабря 2017

Условие задачи[править]

Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной О1О2. Предполагая, что оси О1О2 и О3G являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.

Решение задачи[править]

Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера

[math]A\dot ω_A + (C-B)ω_Bω_C = M_A[/math], где

[math]A,B,C[/math] - главные моменты инерции относительно осей [math]O_1O_2[/math] и [math]O_3G[/math].

[math]ω_A[/math], [math]ω_B[/math] и [math]ω_C[/math] - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно

[math]М_А[/math] - момент сил относительно оси с моментом инерции А

Можно заметить, что [math]\dot ω_A[/math] - это вторая производная угла [math]ϑ[/math], т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.

Рамка вращается с угловой скоростью [math]ω[/math]. Эту скорость можно разложить по составляющим [math]ωCosϑ[/math] и [math]ωSinϑ[/math] - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.

Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен

[math]М_А = -mglSinϑ[/math]

Таким образом, получаем уравнение движения тела

[math]A\ddot ϑ + (C-B)ω^{2}SinϑCosϑ = -mglSinϑ[/math], где

[math]ϑ[/math] - угол отклонения от горизонтальной части рамки

Визуализация задачи[править]