Мещерский 48.25 — различия между версиями
(→Решение задачи) |
(→Решение задачи) |
||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера | Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера | ||
: | : | ||
| − | <math> | + | <math>A*/dot w_A + (C-B)w_Bw_C = M_A</math>, где |
<math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math> | <math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math> | ||
<math>w_A</math>, <math>w_B</math> и <math>w_C</math> - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно | <math>w_A</math>, <math>w_B</math> и <math>w_C</math> - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно | ||
<math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А | <math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А | ||
| − | Можно заметить, что <math>dot w_A</math> - это вторая производная угла <math>ϑ</math>, т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки. | + | Можно заметить, что <math>/dot w_A</math> - это вторая производная угла <math>ϑ</math>, т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки. |
| − | Рамка вращается с угловой скоростью <math>w</math>. Эту скорость можно разложить по составляющим <math> | + | Рамка вращается с угловой скоростью <math>w</math>. Эту скорость можно разложить по составляющим <math>wCosϑ</math> и <math>wSinϑ</math> - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С. |
Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен | Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен | ||
: | : | ||
| − | <math>М_А = - | + | <math>М_А = -mglSinϑ</math> |
Таким образом, получаем уравнение движения тела | Таким образом, получаем уравнение движения тела | ||
: | : | ||
| − | <math> | + | <math>A*/ddot ϑ + (C-B)/sqr{w}/SinϑCosϑ = -mglSinϑ</math>, где |
<math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки | <math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки | ||
Версия 20:09, 24 декабря 2017
Условие задачи
Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной О1О2. Предполагая, что оси О1О2 и О3G являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.
Решение задачи
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера
, где - главные моменты инерции относительно осей и , и - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно - момент сил относительно оси с моментом инерции А
Можно заметить, что - это вторая производная угла , т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.
Рамка вращается с угловой скоростью . Эту скорость можно разложить по составляющим и - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.
Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен
Таким образом, получаем уравнение движения тела
, где
- угол отклонения от горизонтальной части рамки
Визуализация задачи
