Мещерский 47.13 — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Визуализация== {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }}»)
 
(top)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Условия задачи==
 +
Стержень <math>DE</math> массы <math>M_1</math> лежит на трех катках A, B и C массы <math>M_2</math> каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила <math>F</math>, приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня <math>DE</math>. Катки считать однородными круглыми цилиндрами.
 +
==Решение==
 +
Общее уравнение динамики:<br/>
 +
<math>\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= 0</math><br/>
 +
В механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ, совершаемых активными силами и силами инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равна нулю.<br/>
 +
Сумма работ активных сил:<br/>
 +
<math>\sum\ δA_{i}(i)=F δS</math><br/>
 +
Учитывая, что точки касания для 3-х катков с плоскостью - мгновенный центр скоростей, найдем угловую скорость и ускорение:
 +
<math> ω = \frac{V}{2 r} </math><br/>
 +
<math> ε = \frac{a}{2 r} </math><br/>
 +
Находим силы инерции и моменты сил инерции относительно его центральной оси:<br/>
 +
<math> Φ_i = -m_i a_i</math><br/>
 +
<math> M_i = -J_i ε_i</math><br/>
 +
Для стержня:
 +
<math> Φ_1 = -M_1 a </math><br/>
 +
Для катков с одинаковыми массами получаем:<br/>
 +
<math> Φ_2 = -\frac{3 M_2 a}{2} </math><br/>
 +
<math> M_2 = -3 J ε = -\frac{3 M_2 R^2}{2}\frac{a}{2 R} =-\frac{3 M_2 R a}{4}</math><br/>
 +
Находим сумму работ сил инерции:<br/>
 +
<math>\sum\ δA_{j}(j)= -M_1 a δS-\frac{3 M_2 a}{4} δS-\frac{3 M_2 R}{8 R} δS</math><br/>
 +
Подставляем в общее уравнение динамики и сокращаем <math>δS</math> :<br/>
 +
<math>\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= F - M_1 a -\frac{3 M_2 a}{4} -\frac{3 M_2 R a}{8 R}</math><br/>
 +
Отсюда находим искомое ускорение:
 +
<math> a = \frac{8 F}{8 M_1 + 9 M_2}</math><br/>
 +
 
==Визуализация==
 
==Визуализация==
  
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }}

Версия 15:42, 6 марта 2018

Условия задачи

Стержень [math]DE[/math] массы [math]M_1[/math] лежит на трех катках A, B и C массы [math]M_2[/math] каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила [math]F[/math], приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня [math]DE[/math]. Катки считать однородными круглыми цилиндрами.

Решение

Общее уравнение динамики:
[math]\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= 0[/math]
В механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ, совершаемых активными силами и силами инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равна нулю.
Сумма работ активных сил:
[math]\sum\ δA_{i}(i)=F δS[/math]
Учитывая, что точки касания для 3-х катков с плоскостью - мгновенный центр скоростей, найдем угловую скорость и ускорение: [math] ω = \frac{V}{2 r} [/math]
[math] ε = \frac{a}{2 r} [/math]
Находим силы инерции и моменты сил инерции относительно его центральной оси:
[math] Φ_i = -m_i a_i[/math]
[math] M_i = -J_i ε_i[/math]
Для стержня: [math] Φ_1 = -M_1 a [/math]
Для катков с одинаковыми массами получаем:
[math] Φ_2 = -\frac{3 M_2 a}{2} [/math]
[math] M_2 = -3 J ε = -\frac{3 M_2 R^2}{2}\frac{a}{2 R} =-\frac{3 M_2 R a}{4}[/math]
Находим сумму работ сил инерции:
[math]\sum\ δA_{j}(j)= -M_1 a δS-\frac{3 M_2 a}{4} δS-\frac{3 M_2 R}{8 R} δS[/math]
Подставляем в общее уравнение динамики и сокращаем [math]δS[/math] :
[math]\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= F - M_1 a -\frac{3 M_2 a}{4} -\frac{3 M_2 R a}{8 R}[/math]
Отсюда находим искомое ускорение: [math] a = \frac{8 F}{8 M_1 + 9 M_2}[/math]

Визуализация