Метод Барнса-Хата — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 11: Строка 11:
 
= Описание метода =
 
= Описание метода =
 
== Первый этап ==
 
== Первый этап ==
[[Image: Barns2.png|200px|right]]  
+
[[Image: Barns2.png|thumb|200px|right|Пример разбиения иерархического пространства на ячейки для двумерного случая]]  
 
Объединение частиц в древовидную структуру данных с учетом близости их расположения друг к другу. Существуют реализации с построением дерева путем объединения групп частиц (ближайшие частицы объединяются в пары, образуя узлы, затем пары также объединяются между собой и т.д.). Однако обычно это делается просто иерархической декомпозицией пространства на кубические ячейки. Для двумерного случая пример такого разбиения показан на рисунке справа. Ячейки в нем соответствуют узлам дерева, частицы в них — листьям.
 
Объединение частиц в древовидную структуру данных с учетом близости их расположения друг к другу. Существуют реализации с построением дерева путем объединения групп частиц (ближайшие частицы объединяются в пары, образуя узлы, затем пары также объединяются между собой и т.д.). Однако обычно это делается просто иерархической декомпозицией пространства на кубические ячейки. Для двумерного случая пример такого разбиения показан на рисунке справа. Ячейки в нем соответствуют узлам дерева, частицы в них — листьям.
  

Версия 13:48, 17 сентября 2016

Виртуальная лаборатория > Метод Барнса-Хата
Результат моделирования формирования планетной системы Земля-Луна в результате гравитационного коллапса пылевого облака.

Аннотация

Для оптимизации некоторых задач, решаемых методом динамики частиц (таких, как моделирование образования Солнечной системы), используются иерархические методы. Они наиболее неприхотливы к различным особенностям физической модели, в частности к скачкам в распределении частиц. На доступных на сегодняшний день аппаратных ресурсах они позволяют проводить расчеты для систем с числом частиц до [math]10^9[/math], в зависимости от конкретной задачи. Существует, собственно, всего два классических иерархических алгоритма — быстрый мультипольный метод и алгоритм Барнса-Хата. Все остальные в той или иной степени являются их модификациями и комбинациями с другими методами расчета сил.

В данной статье рассматривается процесс реализации алгоритма Барнса-Хата на примере двумерного случая.

Описание метода

Первый этап

Пример разбиения иерархического пространства на ячейки для двумерного случая

Объединение частиц в древовидную структуру данных с учетом близости их расположения друг к другу. Существуют реализации с построением дерева путем объединения групп частиц (ближайшие частицы объединяются в пары, образуя узлы, затем пары также объединяются между собой и т.д.). Однако обычно это делается просто иерархической декомпозицией пространства на кубические ячейки. Для двумерного случая пример такого разбиения показан на рисунке справа. Ячейки в нем соответствуют узлам дерева, частицы в них — листьям.

Второй этап

Для подсчета результирующей силы, действующей на какую-либо произвольно взятую частицу, совершается обход дерева от корня. При достижении очередного узла дальнейший расчет проходит по следующей схеме:
А) если узел терминальный (не имеющий дочерних элементов), то к результату просто добавляется сила, действующая со стороны этого узла;
Б) если узел не терминальный, то для потенциала, создаваемого частицами данного узла, может быть вычислена аппроксимация. С помощью критерия допустимости происходит проверка точности аппроксимации:

  • если критерий удовлетворен, то аппроксимация вычисляется, и на этом обход данной ветки дерева завершается;
  • если нет, то этап 2 рекурсивно повторяется для всех дочерних узлов.

Третий этап

Производится интегрирование уравнений движения и пересчет скоростей и координат частиц.

Дополнение к этапу 2-Б

Критерий принятия решения в пункте 2-Б в литературе обычно называется критерием допустимости (Multipole Acceptance Criteria (MAC)). Почти всегда он сводится к тому, что для частиц, находящихся близко, происходит прямое вычисление сил, а для удаленных частиц используется аппроксимация. Обычно МАС описывается при помощи величины [math]\Theta[/math] — так называемого угла раскрытия. В физическом смысле [math]\Theta[/math] это максимальный угол, под которым должна быть видна ячейка из местоположения частицы, для которой вычисляется сила, чтобы была использована мультипольная аппроксимация. Наиболее распространенными являются следующие три типа МАС:
1) Barnes-Hut (BH) MAC: [math] s/r \lt \Theta [/math], где [math]r[/math] - расстояние от частицы до центра масс ячейки, [math]s[/math] - размер ячейки.
2) Min-distance (MD) MAC: [math] s/r \lt \Theta [/math], где [math]r[/math] - расстояние от частицы до границы ячейки, [math]s[/math] - размер ячейки.
3) Bmax MAC: [math] b_{max}/r \lt \Theta [/math], где [math]b_{max}[/math] - максимальное расстояние от центра масс ячейки до ее границы, [math]r[/math] - расстояние от частицы до центра масс ячейки.
Если условие МАС выполняется, то мультипольная аппроксимация в данном случае считается допустимой.

Программа

В данной программе используется критерий допустимости Mid-distance.


Комментарий к программе:

  • Левой клавишей мыши частицы можно добавлять и перемещать.
  • Правой клавишей мыши частицы можно удалять.


Разработчик программы: Цветков Денис, при разработке программы были использованы материалы диссертации Александра Ле-Захарова.

Материал данной страницы скомпонован Сергеем Александровым.

См. также