Математическое моделирование упругого столкновения — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(выоладлфвыат)
(вываыфаыв)
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 12: Строка 12:
  
 
==Математическая модель==
 
==Математическая модель==
−
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
+
 
 +
Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
  
 
<math>
 
<math>
−
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
+
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
 
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
</math>
 
</math>
Строка 24: Строка 25:
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
−
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
 
−
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
 
<math>
 
<math>
Строка 37: Строка 34:
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
  
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
+
Давление рассчитывается по формуле:
 +
 
 +
<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
 +
 
 +
 
 +
где <math>V_0</math> - объём шара в начальный момент времени
 +
 
 +
<math>V</math> - объём шара в текущий момент времени
 +
 
 +
<math>k</math> - коэффициент давления
 +
 
 +
 
 +
Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
  
 
<math>
 
<math>
−
  \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
+
U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
−
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
+
</math>
  
−
Сила демпфирования:
 
  
 
<math>
 
<math>
−
  \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
+
\varepsilon
−
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
+
</math> - глубина потенциальной ямы
  
−
Давление:
+
<math>
 +
\sigma
 +
</math> - расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю
  
 
<math>
 
<math>
−
  \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
+
r
−
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
+
</math> - расстояние до стенки
  
−
Взаимодействие шара со стеной:
+
Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
  
−
<math>
+
<math>\begin{align}
−
  \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
+
\mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
−
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
+
            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
 +
\end{align}</math>
 +
 
 +
==Результаты моделирования==
 +
Исходный код можно посмотреть на GitHub:
 +
https://github.com/OGthug-coder/math_model_hw
  
  
 
{{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}

Текущая версия на 10:49, 20 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Дурнев Андрей

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель[править]

Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Давление рассчитывается по формуле:

[math]P = k(\frac{V_0}{V} - 1)[/math]


где [math]V_0[/math] - объём шара в начальный момент времени

[math]V[/math] - объём шара в текущий момент времени

[math]k[/math] - коэффициент давления


Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

[math] U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right], [/math]


[math] \varepsilon [/math] - глубина потенциальной ямы

[math] \sigma [/math] - расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю

[math] r [/math] - расстояние до стенки

Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:

[math]\begin{align} \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\ &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|, \end{align}[/math]

Результаты моделирования[править]

Исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/OGthug-coder/math_model_hw


Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Математическое_моделирование_упругого_столкновения&oldid=59053»