Редактирование: Математическое моделирование упругого столкновения

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Дурнев Андрей]]

'''Группа:'''  5030103/80101

'''Семестр:''' осень 2021

== Постановка задачи ==

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

==Математическая модель==

Давление рассчитывается по следующей формуле:

<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>

Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:

<math>\begin{align}
 \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
\end{align}</math>

Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

<math>
U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
</math>

==Результаты моделирования==
Исходный код можно посмотреть на GitHub:
https://github.com/OGthug-coder/math_model_hw


{{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}
@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 ==Математическая модель==
-Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
+Давление рассчитывается по следующей формуле:
-<math>
-   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
-   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
-</math>
-где
-<math>
-   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
-</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
-<math>
-  \underline{P}
-</math> - давление создаваемое газом;
-<math>
- \underline{F}_{Wall}\\
-</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
-Давление рассчитывается по формуле:
 <math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
+Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
-где <math>V_0</math> - объём шара в начальный момент времени
+<math>\begin{align}
+ \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
-<math>V</math> - объём шара в текущий момент времени
+            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
+\end{align}</math>
-<math>k</math> - коэффициент давления
 Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
@@ Строка 51: / Строка 29: @@
 U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
 </math>
-<math>
-\varepsilon
-</math> - глубина потенциальной ямы
-<math>
-\sigma
-</math> - расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю
-<math>
-r
-</math> - расстояние до стенки
-Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
-<math>\begin{align}
- \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
-            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
-\end{align}</math>
 ==Результаты моделирования==