Курсовые работы по ТОМДЧ: 2013-2014 — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Моделирование цепочки частиц, анализ распределения скоростей)
Строка 130: Строка 130:
 
* ''Поскольку в модели не учитывается действие силы тяжести, стрела движется не по параболической траектории, как это происходит в реальности, а вдоль оси ox.''  <br>
 
* ''Поскольку в модели не учитывается действие силы тяжести, стрела движется не по параболической траектории, как это происходит в реальности, а вдоль оси ox.''  <br>
  
 +
== Отрицательное тепловое расширение ==
 +
 +
''' Исполнители:''': [[Ковалев Олег]]
 +
----
 +
 +
Рассматривается система сферических твердых тел, образующих плоскую квадратную кристаллическую решетку. Предполагается, что в системе присутствуют только тепловые перемещения и вращения частиц. Приводятся выражения для напряжений возникающих в системе; потенциальной энергии; кинетической поступательной и вращательной энергий. Проводится сравнение с численным моделированием.
 +
 +
Введены следующие обозначения:
 +
<br>
 +
<math>k</math> — ''жесткость связи''<br>
 +
<math>\underline{R_a}</math> — ''радиус частицы''<br>
 +
<math>\underline{A_a}</math> — ''радиус-вектор, соединяющий рассматриваемую частицу с соседней''<br>
 +
<math>\underline{a_0}</math> — ''равновесное расстояние''<br>
 +
<math>\underline{L_0}</math> — ''Расстояние между поверхностями частиц (текущая длина пружинки)''<br>
 +
<math>V</math> — ''элементарный объем решетки''<br>
 +
<math>\phi</math> — ''потенциал взаимодействия''<br>
 +
 +
Выражение для напряжений:
 +
 +
 +
Выражение для потенциальной энергии:
 +
 +
 +
Выражение для кинетической энергии:
 +
 +
Стоит отметить, что при стремлении радиуса частиц к 0, приведенные выше формулы сводятся к формулам, полученным в работе [1] для системы материальных точек.
 +
 +
Если выбрать в качестве потенциала взаимодействия упругую пружинку и устремить к нулю равновесное расстояние, то приведенные выше формулы сведутся к следующим:
 +
 +
Для данной системы было проведено численное моделирование и получено, что напряжение отличается меньше чем на 1%процент, потенциальная энергия на 1%, кинетическая поступательная и вращательная больше чем на 20%. Стоит отметить, что в эксперименте получено, что кинетическая тепловая энергия равна потенциальной тепловой энергии.
 +
<br>
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  

Версия 06:42, 24 января 2014

Предмет: "Теоретические основы метода динамики частиц"

Лектор: Виталий Андреевич Кузькин

Группа: 40510

Учебный год: 2013-2014

Семестр: осень 2013

Моделирование распространения поперечных волн в двумерном стрежне

Исполнители:: Степанов Алексей


Рассматривается стержень, имеющий толщину в 1 атом. Взаимодействие между атомами, находящимися на расстоянии меньшем, чем радиус обрезания, описывается законом

[math] \underline{F}(r) = k \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} [/math]

Здесь, [math]k[/math] — жесткость связи, [math]\underline{r}[/math] — радиус-вектор, соединяющий частицы и [math]a_{0}[/math] равновесное расстояние. Радиус обрезания в работе выбран: [math] r_{cut} = 1.5 [/math].

Было смоделировано несколько различных задач:

  • Отражение волны от свободного конца
  • Отражение волны от заделанного конца
  • Распространение волны без дисперсии
  • Распространение волны с дисперсией

Во всех этих задачах, граничный условия на другом конце выглядели так:

[math] \begin{cases} y(t) = A\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right), t \lt \frac{T}{2}\\ F = 0, t \gt \frac{T}{2} \end{cases} [/math]

Результаты:

  • Отражение волны от свободного конца

Svob conez.gif

  • Отражение волны от заделанного конца

Zadel.gif

Vawes.gif

Моделирование цепочки частиц, анализ распределения скоростей

Исполнители: Дзенушко Дайнис


Рассматривается цепочка частиц с периодичными граничными условиями. Задаются начальные скорости частиц, т.е. вводится начальная температура.
Исследуется распределение скоростей частиц от времени. В начальной конфигурации задается равномерное распределение скоростей.

Взаимодействие частиц описывается потенциалом Леннарда-Джонса который записывается в следующем виде:
[math]U(r) = D \left[ \left(\frac{a}{r}\right)^{12} - \left(\frac{a}{r}\right)^{6} \right],[/math]
r — расстояние между центрами частиц
D  — глубина потенциальной ямы
a — равновесное расстояние

Результаты:

  • 40000 частиц, без диссипаций, радиус обрезания a_cut = 1.4 a0 (слева) и 5.1 a0 (справа), максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6

Dainis Test Ndiss 2.gifDainis Test Ndiss 3.gif

  • 40000 частиц, с диссипацией B = 2.6 * Bo / 100, радиус обрезания a_cut = 1.4 a0, максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6

(Посмотреть результат)

  • 40000 частиц, с диссипацией B = 2.6 * Bo / 100, радиус обрезания a_cut = 2.1 a0, максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6

(Посмотреть результат)

Моделирование распространения волн (MATLAB)

Исполнители: Краморов Данил


Рассматривается бегущая по цепочке частиц волна в разных постановках:

  • Волна отражается от свободного конца
  • Волна отражается от заделанного конца
  • Волна с периодическими граничными условиями
  • Волна с дисперсией

Под волной с дисперсией подразумевается заметное рассеивание волны - по ходу движения за главным пиком вся явнее выражаются побочные. Этого можно добиться увеличением собственной частоты в несколько раз. Разницу можно наблюдать, сравнив "Отражение волны от заделанного края" и "Волну с дисперсией". Разница между собственными частотами в этих случаях 5 раз.

Результаты:

  • Отражение волны от свободного конца

Free s.gif

  • Отражение волны от заделанного конца

Wall s.gif

  • Волна с периодическими граничными условиями

P periodic.gif

  • Волна с дисперсией

Dissipation s.gif

Моделирование выстрела из лука

Исполнители: Фролова Ксения


Постановка задачи:
В данной работе моделируется процесс выстрела из лука с целью получения качественного анализа поведения рассматриваемой механической конструкции. Реализация происходит в среде разработки Code::Blocks.

В реальных моделях плечи лука являются упругими стержнями, а тетива – растяжимой нитью.

Рассматривается плоская задача. В построенной модели плечи лука состоят из двух слоев частиц, находящихся друг от друга на расстоянии, равном равновесному, а тетива - из одного. Снаряд (стрела) также состоит из одного слоя частиц. Взаимодействие между частицами определяется законом (1):
[math] \underline{F}(r) = k \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} [/math] (1) Где
[math]k[/math]жесткость связи
[math]\underline{r}[/math]радиус-вектор, соединяющий частицы
[math]a_{0}[/math] - равновесное расстояние

Радиус обрезания [math] a_{cut} = 1.2 [/math]; жесткость связи между частицами стрелы и тетивы [math]k_{1} = 0.3[/math]; жесткость связи между остальными частицами [math]k_{2} = 0.9[/math]
Частицы, составляющие плечи лука, не взаимодействуют c

  • частицами тетивы (за исключением ушек – элемента тетивы, одеваемого на лук)
  • частицами стрелы

Плечи в недеформированном состоянии представляют собой полуокружность. При натянутой на лук тетиве конструкция находится в равновесии. Сила натяжения лука, приложенная к середине тетивы, задается статически – частица, находящаяся в середине тетивы, перемещается вдоль горизонтальной оси ox на величину [math] s = -0.0004a [/math].
Начальная конфигурация лука представлена на рисунке 1.


Результат:

Обсуждение результатов и выводы:
Из полученных результатов видно, что при отпускании тетивы (в момент, когда сила натяжения лука перестает действовать, т.е. частица, являющаяся серединой тетивы, останавливается) энергия, накопленная в деформированных за счет оттягивания тетивы плечах, преобразуется в кинетическую энергию полета стрелы. За счет этого, в свою очередь, и происходит движение снаряда в сторону разгибания дуги, стремящейся вернуться в исходное состояние равновесия системы. Это соответствует принципу действия реальных конструкций.
Замечания:

  • В данной модели расстояние, на которое перемещается стрела, мало. Это объясняется наличием диссипации, а также достаточно малым значением энергии, передаваемой стреле, что, в свою очередь, объясняется малым значением смещения середины тетивы (если указать большое значение данной величины, модель рушится, т.к. энергии связи не хватает для преодоления прикладываемой силы).
  • Поскольку в модели не учитывается действие силы тяжести, стрела движется не по параболической траектории, как это происходит в реальности, а вдоль оси ox.

Отрицательное тепловое расширение

Исполнители:: Ковалев Олег


Рассматривается система сферических твердых тел, образующих плоскую квадратную кристаллическую решетку. Предполагается, что в системе присутствуют только тепловые перемещения и вращения частиц. Приводятся выражения для напряжений возникающих в системе; потенциальной энергии; кинетической поступательной и вращательной энергий. Проводится сравнение с численным моделированием.

Введены следующие обозначения:
[math]k[/math]жесткость связи
[math]\underline{R_a}[/math]радиус частицы
[math]\underline{A_a}[/math]радиус-вектор, соединяющий рассматриваемую частицу с соседней
[math]\underline{a_0}[/math]равновесное расстояние
[math]\underline{L_0}[/math]Расстояние между поверхностями частиц (текущая длина пружинки)
[math]V[/math]элементарный объем решетки
[math]\phi[/math]потенциал взаимодействия

Выражение для напряжений:


Выражение для потенциальной энергии:


Выражение для кинетической энергии:

Стоит отметить, что при стремлении радиуса частиц к 0, приведенные выше формулы сводятся к формулам, полученным в работе [1] для системы материальных точек.

Если выбрать в качестве потенциала взаимодействия упругую пружинку и устремить к нулю равновесное расстояние, то приведенные выше формулы сведутся к следующим:

Для данной системы было проведено численное моделирование и получено, что напряжение отличается меньше чем на 1%процент, потенциальная энергия на 1%, кинетическая поступательная и вращательная больше чем на 20%. Стоит отметить, что в эксперименте получено, что кинетическая тепловая энергия равна потенциальной тепловой энергии.

См. также