Редактирование: Курсовые работы по ТОМДЧ: 2013-2014

[[Кафедра ТМ]] > [[Кафедра ТМ#Учебная работа|Учебная работа]] > [[Курсы лекций]] > [[Введение в механику дискретных сред]] > '''Курсовые 2013-2014''' <HR> 
{{DISPLAYTITLE:<span style="display:none">{{FULLPAGENAME}}</span>}}

<font size="5"> Введение в механику дискретных сред: курсовые работы 2013-2014 </font>

'''Предмет:''' "[[Теоретические основы метода динамики частиц]]"

'''Лектор:''' [[Виталий Андреевич Кузькин]]

'''Группа:''' 40510 

'''Учебный год''': 2013-2014

'''Семестр:''' осень 2013

== Моделирование распространения поперечных волн в двумерном стрежне ==

''' Исполнители:''': [[Степанов Алексей]]
----

Рассматривается стержень, имеющий толщину в 1 атом. Взаимодействие между атомами, находящимися на расстоянии меньшем, чем радиус обрезания, описывается законом

<math>    \underline{F}(r) = k  \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} </math>

Здесь, <math>k</math> — жесткость связи, <math>\underline{r}</math> — радиус-вектор, соединяющий частицы и <math>a_{0}</math> равновесное расстояние. Радиус обрезания в работе выбран: <math> r_{cut} = 1.5 </math>.

Было смоделировано несколько различных задач:

* Отражение волны от свободного конца
* Отражение волны от заделанного конца
* Распространение волны без дисперсии
* Распространение волны с дисперсией

Во всех этих задачах, граничный условия на другом конце выглядели так:

<math>
\begin{cases}
        y(t) = A\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right), t < \frac{T}{2}\\
        F = 0, t > \frac{T}{2}
\end{cases}
</math>

Результаты:
* Отражение волны от свободного конца
[[Файл:Svob_conez.gif]]  
* Отражение волны от заделанного конца
[[Файл:Zadel.gif]]
*[[Media:Disper 2.gif | Распространение волны с дисперсией]]
* Соударение двух встречных волн
[[Файл:Vawes.gif]]

== Моделирование распространения продольных волн (MATLAB)== 

''' Исполнители:''' [[Краморов Данил]] 
----

Рассматривается бегущая по цепочке частиц продольная волна в разных постановках:

* Волна отражается от свободного конца
* Волна отражается от заделанного конца
* Волна с периодическими граничными условиями
* Волна с дисперсией

Под волной с дисперсией подразумевается рассеивание волны при уменьшении длины волны - по ходу движения за главным пиком вся явнее выражаются побочные.

Результаты:
* Отражение волны от свободного конца
[[Файл:wall_s.gif]]
* Отражение волны от заделанного конца
[[Файл:free_s.gif]]
* Волна с периодическими граничными условиями
[[Файл:P_periodic.gif]]
*Волна с дисперсией
[[Файл:dissipation_s.gif]]

== Моделирование цепочки частиц, анализ распределения скоростей ==

''' Исполнители:''' [[Дзенушко Дайнис]]
----
Рассматривается цепочка частиц с периодичными граничными условиями. Задаются начальные скорости частиц, т.е. вводится начальная температура.<br>
Исследуется распределение скоростей частиц от времени. В начальной конфигурации задается равномерное распределение скоростей.
<br><br>
Взаимодействие частиц описывается потенциалом Леннарда-Джонса который записывается в следующем виде:<br>
<math>U(r) = D \left[ \left(\frac{a}{r}\right)^{12} - \left(\frac{a}{r}\right)^{6} \right],</math><br>
r — расстояние между центрами частиц<br>
D  — глубина потенциальной ямы<br>
a — равновесное расстояние<br><br>

'''Результаты:'''<br>

* 40000 частиц, без диссипаций, радиус обрезания a_cut = 1.4 a0 (слева) и 5.1 a0 (справа), максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6 <br>
[[Файл:Dainis_Test_Ndiss_2.gif]][[Файл:Dainis_Test_Ndiss_3.gif]]
* 40000 частиц, с диссипацией B = 2.6*Bo/100(слева) и B = 5.2*Bo/100(справа), радиус обрезания a_cut = 1.4 a0, максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6 <br>
[[Файл:Dainis_Test_diss_6.gif]][[Файл:Dainis_Test_diss_7.gif]]<br>

== Моделирование выстрела из лука == 

''' Исполнители:''' [[Фролова Ксения]] 
----
'''Постановка задачи:'''<br>
В данной работе моделируется процесс выстрела из лука с целью получения качественного анализа поведения рассматриваемой механической конструкции.  Реализация происходит в среде разработки ''Code::Blocks''. <br>

В реальных моделях плечи лука являются упругими стержнями, а тетива – растяжимой нитью. <br>

Рассматривается плоская задача. В построенной модели плечи лука состоят из двух слоев частиц, находящихся друг от друга на расстоянии, равном равновесному, а тетива - из одного. Снаряд (стрела) также состоит из одного слоя частиц. Для описания взаимодействия между частицами тетивы и стрелы используется потенциал Леннарда - Джонса (1), взаимодействие между остальными частицами определяется законом (2):<br>
<math>    U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right], </math>                (1)<br>
<math>    \underline{F}(r) = k  \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} </math>                    (2)<br>
Где <br>
<math>k</math> — ''жесткость связи''<br>
<math>\underline{r}</math> — ''радиус-вектор, соединяющий частицы''<br>
<math>a_{0}</math> - ''равновесное расстояние''<br>

''Примечание: при расстоянии между частицами тетивы и стрелы, превышающим равновесное расстояние, взаимодействие между этими частицами отсутствует.'' 

''Радиус обрезания'' <math> a_{cut} = 1.2 </math>; ''жесткость связи'' <math>k = 2.0</math>.</math> <br>
Частицы, составляющие плечи лука, не взаимодействуют c<br>
* ''частицами тетивы (за исключением ушек – элемента тетивы, одеваемого на лук)''<br>
* ''частицами стрелы'' <br>

Плечи в недеформированном состоянии представляют собой полуокружность. При натянутой на лук тетиве конструкция находится в равновесии. 
Сила натяжения лука, приложенная к середине тетивы, задается статически – частица, находящаяся в середине тетивы, перемещается вдоль горизонтальной оси ox на величину <math> s = -0.0012a </math>.<br>
Начальная конфигурация лука представлена на рисунке 1.
<gallery widths=250px heights=250px perrow=2>
Файл:First.png‎|'''Рисунок 1'''. Начальная конфигурация лука.
</gallery>


'''Результат:'''<br>
<gallery widths=350px heights=200px perrow=2>
Файл:Luk2.gif‎‎‎|'''Процесс выстрела из лука'''
</gallery>
'''Обсуждение результатов и выводы:'''<br>
Из полученных результатов видно, что при отпускании тетивы (в момент, когда сила натяжения лука перестает действовать, т.е. частица, являющаяся серединой тетивы, останавливается) энергия, накопленная в деформированных за счет оттягивания тетивы плечах, преобразуется в кинетическую энергию полета стрелы. За счет этого, в свою очередь, и происходит движение снаряда в сторону разгибания дуги, стремящейся вернуться в исходное состояние равновесия системы. Это соответствует принципу действия реальных конструкций. <br>
''Замечание: <br>
* ''Поскольку в модели не учитывается действие силы тяжести, стрела движется не по параболической траектории, как это происходит в реальности, а вдоль горизонтальной оси.''  <br>

== Отрицательное тепловое расширение ==

''' Исполнители:''': [[Ковалев Олег]]
----

Рассматривается система сферических твердых тел, образующих плоскую квадратную кристаллическую решетку. Предполагается, что в системе присутствуют только тепловые перемещения и вращения частиц. Приводятся выражения для напряжений возникающих в системе; потенциальной энергии; кинетической поступательной и вращательной энергий. Проводится сравнение с численным моделированием.

Введены следующие обозначения: 
<br>
<math>k</math> — ''жесткость связи''<br>
<math>\underline{R_a}</math> — ''радиус частицы''<br>
<math>\underline{A_a}</math> — ''радиус-вектор, соединяющий рассматриваемую частицу с соседней''<br>
<math>\underline{a_0}</math> — ''равновесное расстояние''<br>
<math>\underline{L_0}</math> — ''Расстояние между поверхностями частиц (текущая длина пружинки)''<br>
<math>V</math> — ''элементарный объем решетки''<br>
<math>\phi</math> — ''потенциал взаимодействия''<br>

Выражение для напряжений:


Выражение для потенциальной энергии:


Выражение для кинетической энергии:

Стоит отметить, что при стремлении радиуса частиц к 0, приведенные выше формулы сводятся к формулам, полученным в работе [1] для системы материальных точек.

Если выбрать в качестве потенциала взаимодействия упругую пружинку и устремить к нулю равновесное расстояние, то приведенные выше формулы сведутся к следующим:

Для данной системы было проведено численное моделирование и получено, что напряжение отличается меньше чем на 1%процент, потенциальная энергия на 1%, кинетическая поступательная и вращательная больше чем на 20%. Стоит отметить, что в эксперименте получено, что кинетическая тепловая энергия равна потенциальной тепловой энергии.
<br>

== Потеря устойчивости стержня ==

''' Исполнители:''': [[Пшенов Антон]]
----

Рассматривается стержень состоящий из частиц взаимодействующих по потенциалу [[V-model]], подвергающийся сжатию в квазистатической постановке. Граничные условия на концах соответсвуют заделке, тоесть перемещение и вращение крайних частиц равны нулю. Квазистатическая задача предпологает последовательное смещение каждой частицы с определенным интервалом по времени, тем самым обеспечивая сжатие стержня без возникновения значительных продольных волн.

При различных значениях скорости деформации наблюдается потеря устойчивости по разным формам.

<gallery widths=400px heights=200px perrow=2>
Файл:iForm.gif‎|'''Потеря устойчивости по I форме'''
Файл:iiForm.gif‎|'''Потеря устойчивости по II форме'''
Файл:iiiForm.gif‎|'''Потеря устойчивости по III форме'''
Файл:ivForm.gif‎|'''Потеря устойчивости по IV форме'''
</gallery>

В ходе моделирования замеряется сила действующая на крайнюю частицу, соответствующая нагрузке на стержень. При потере устойчивости наблюдается резкое падение этой силы означающее переход к другому равновесному состоянию.Полученное значение максимальной нагрузки сравнивается с введенной Эйлером критической силой, вычисляющейся по формуле:

<math>    P_{k} = \frac{n^{2}\cdot\pi^{2}\cdot EJ}{l^{2}} </math> 

При устремлении скорости деформации к нулю было получено близкое к аналитическому значение критической нагрузки.

Аналогичную задачу можно поставить и для кручения стержня.

<gallery widths=400px heights=200px perrow=2>
Файл:MOe-5.gif‎|'''Потеря устойчивости при кручении'''
</gallery>

<br>

== Моделирование пробивания пластины шаром ==

''' Исполнители:''' [[Веренинов Игорь]]
----
Рассматривается деформируемый шар пробивающий пластину,толщиной в одну частицу. 
<br><br>

'''Результаты:'''<br>

* 1000 частиц,  радиус обрезания a_cut = 1.4 a0 максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6 <br>
[[Файл:IgorBall.gif]]




== Моделирование откольного разрушения в двумерной постановке ==

''' Исполнители:''' [[Симонов Роман]]
----
Рассматривается пластина ,которую ударяет тело размером меньше в 5 раз.
При соударении наблюдается откол части пластины схожей по форме с ударяемым телом. 

<br><br>

'''Результаты:'''<br>

* 2700 частиц,  радиус обрезания a_cut = 1.4 a0<br>
[[Файл:AN.gif]]

== См. также ==

*[[Метод динамики частиц]]
*[[Механика дискретных сред]]
*[[Теоретические_основы_метода_динамики_частиц]]
*[[Курсовые_работы_по_ТОМДЧ:_2011-2012| Курсовые работы 2011-2012 учебного года]]
*[[Курсовые_работы_по_ТОМДЧ:_2012-2013| Курсовые работы 2012-2013 учебного года]]


[[Category: Студенческие проекты]]
[[Category: Механика дискретных сред]]