Редактирование: Курсовой проект "Моделирование удара шарика об стену"

==Математическая модель==
Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

<math>
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
</math>


где 
<math>
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;

<math>
   \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;

<math>
  \underline{P}
</math> - давление создаваемое газом;

<math>
 \underline{F}_{Wall}\\
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

<math>
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.

Сила демпфирования:

<math>
   \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.

Давление:

<math>
   \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

<math>
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

==Постановка задачи==
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
-'''Исполнитель:''' [[Ларюшин Игорь]]
-'''Группа:'''  5030103/80101
-'''Семестр:''' осень 2021
-==Постановка задачи==
-Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
-Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
 ==Математическая модель==
+Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
 <math>
@@ Строка 39: / Строка 28: @@
 <math>
-    \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
+    \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
 </math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
@@ Строка 45: / Строка 34: @@
 <math>
-    \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
+    \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
 </math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
-Давление рассчитывается по следующей формуле:
+Давление:
-<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
+<math>
+   \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
-Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
+</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
-<math>\begin{align}
- \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
-            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
-\end{align}</math>
-Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
+Взаимодействие шара со стеной:
 <math>
-U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
+   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
-</math>
+</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
-==Реализация модели==
+Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
-Визуализацию и исходный код: https://github.com/igorlaryush/discrete_mechanics_course_project
-==Визуализация модели==
+==Постановка задачи==
-[[File:Filename.gif]]
+Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
+Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.