Круговая рамка (48.24) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 13: Строка 13:
  
 
== Решение задачи ==
 
== Решение задачи ==
 +
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:
 +
 +
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 </math> , где
 +
L = T - П - функция Лагранжа
 +
T - кинетическая энергия системы
 +
П - потенциальная энергия системы
 +
q - независимая обобщенная координата
 +
 +
В данной задаче в качестве обобщенной координаты примем угол θ.
 +
 +
Кинетическая энергия:
 +
 +
<math>T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+ẏ^{2}+ż^{2}) = \frac{1}{2}m(R^{2} \dot θ cos^{2} θ + (R sin θ)^{2} ω^{2}+ R^{2} \dot θ^{2}) = \frac{1}{2}m R^{2}(\dot θ^{2} + ?sin ^{2}  θ ω^{2})</math>
 +
 +
Потенциальная энергия:
 +
 +
<math>П = m g z = m g R (1 - cos θ)</math>
 +
 +
Найдем:
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial θ} = m R^{2}ω^{2} sin θ cos θ - m g R sin θ </math>
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial \dot θ} = m R^{2} \dot θ</math>
 +
 +
Уравнения движения:
 +
 +
<math> \ddot θ = (ω^{2} cosθ - \frac{g}{R}) sin θ = 0 </math>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 20:11, 18 декабря 2017

Задача 48.24 из сборника задач Мещерского : составить уравнения движения материальной точки по круговой рамке и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Условие задачи[править]

Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.

Реализация на языке JavaScript[править]

Используемые библиотеки[править]

  • three.js
  • stats.js
  • dat.gui.js

Решение задачи[править]

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимая обобщенная координата

В данной задаче в качестве обобщенной координаты примем угол θ.

Кинетическая энергия:

[math]T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+ẏ^{2}+ż^{2}) = \frac{1}{2}m(R^{2} \dot θ cos^{2} θ + (R sin θ)^{2} ω^{2}+ R^{2} \dot θ^{2}) = \frac{1}{2}m R^{2}(\dot θ^{2} + ?sin ^{2} θ ω^{2})[/math]

Потенциальная энергия:

[math]П = m g z = m g R (1 - cos θ)[/math]

Найдем:

[math]\frac{\partial L}{\partial θ} = m R^{2}ω^{2} sin θ cos θ - m g R sin θ [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot θ} = m R^{2} \dot θ[/math]

Уравнения движения:

[math] \ddot θ = (ω^{2} cosθ - \frac{g}{R}) sin θ = 0 [/math]

См. также[править]