Корреляции перемещений в кристаллах (компьютерное моделирование) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показаны 23 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
=Корреляция колебаний=
+
Расчеты: [[Панченко Артём]]
==ГЦК==
 
  
Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность <math>10^-3</math>.
+
== Треугольная кристаллическая решётка ==
  
 +
Рассматривается образец размерами 100x100 частиц, с периодическими граничными условиями, взаимодействие частиц описывается потенциалом Морзе с параметром <math>{\alpha}{a_0}=6</math>, учитывается взаимодействие с первой координационной сферой, начальная кинетическая энергия равна <math>{E_{kin}}=10^{-5}{D}</math>. Изменение параметров оговорено отдельно.
  
При отсутствии внешних напряжений зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).
+
* Проведено сравнение с результатами экспериментов по рассеиванию электронов: [[media:Correlation effects among thermal displacements of atoms.pdf|T. Sakuma et al., Correlation effects among thermal displacements of atoms in Vse by diffuse neutron scattering measurement // J Thermal Anal Calorim, 99, 173-176 (2010)]]
 +
 
 +
* Результаты аналитического расчёта корреляции из статфизики приведены в статье: [[media:On the Interatomic Correlations and Mean Square....pdf|C. G. Rodrigues, M. F. Pascual and V. I. Zubovy, On the Interatomic Correlations and Mean Square Relative Atomic Displacements in an Anharmonic BCC Crystal // Brazilian Journal of Physics, vol. 27, no. 4, december, 1997]]
 +
 
 +
Рассчитаны корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям, а затем усреднено по 10 рассчётам. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью <math>10^{-3}</math>.
 +
 
 +
<gallery widths=500px heights=330px perrow = 2>
 +
Файл:uu_a___2D_Morse.png|Рис. 1.1. Зависимость диагональных компонент тензора <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от номера расстояния.
 +
Файл:AA_a_2D_Morse_systemsizeXdY.png|Рис. 1.2. Зависимость <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от размера системы при кратном соотношении количества слоёв.
 +
Файл:uu_a___3D_Morse_temperature.png|Рис. 1.3. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от начальной кинетической энергии.
 +
Файл:uu_a___2D_Morse_alfa.png|Рис. 1.4. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.
 +
Файл:uu_a___2D_Morse_epsion.png|Рис. 1.5. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math>.
 +
Файл:uu_a___2D_Morse_a_cut.png|Рис. 1.6. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от радиуса обрезания.
 +
Файл:uu_a___2D_Morse_YY_epsion.png|Рис. 1.7. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math>.
 +
</gallery>
 +
 
 +
Результаты расчёта с приведёнными выше параметрами представлены на Рис.1.1.
 +
 
 +
Размер системы выбран исходя из результатов представленных на Рис.1.2.
 +
 
 +
Из Рис.1.3, Рис.1.4, Рис.1.5, Рис.1.6 можно сделать вывод о слабой зависимости отношения продольных корреляций к дисперсии от <math>{E_{kin}}</math>, <math>{\alpha}{a_0}</math>, <math>{a_{cut}}</math>, <math>\varepsilon</math> и таким образом это отношение является фактически константой.
 +
 
 +
Однако обнаружено влияние внешних напряжений (Рис.1.7) на отношение поперечной корреляции к продольной, таким образом мы можем сделать предположение, что это отношение зависит от внутренних напряжений.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3). 
 +
 
 +
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом м (Рис.1.4). 
 +
 
 +
Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 ([[А.М. Кривцов]]), данный анализ проведён по старым графикам, однако значения на графиках фактически не изменились.
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
! Величина
 +
! colspan="3"| Значения
 +
! Источник
 +
! Комментарий
 +
|-
 +
| <math>\varepsilon</math>
 +
| -5%
 +
|  0
 +
| 5%
 +
| Рис. 1.3 - 1.4
 +
| деформация
 +
|-
 +
| <math>p = \langle A_y A_y\rangle/\langle A_x A_x\rangle</math>
 +
| 1.48
 +
| 1.42
 +
| 1.36
 +
| Рис. 1.4
 +
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной
 +
|-
 +
| <math>q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle</math>
 +
| 0.810
 +
| 0.825
 +
| 0.840
 +
| Рис. 1.3
 +
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной
 +
|-
 +
| <math>\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle</math>
 +
| 0.716
 +
| 0.706
 +
| 0.692
 +
| расчет
 +
| относительная продольная корреляция перемещений
 +
|-
 +
| <math>\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle</math>
 +
| 0.580
 +
| 0.582
 +
| 0.582
 +
| расчет
 +
| относительная поперечная корреляция перемещений
 +
|}
 +
 
 +
Связь параметров <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> определяется формулами
 +
 
 +
:<math>p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.</math>
  
При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> зависят от гидростатической деформации линейно, при этом <math>\mathbf{j}\mathbf{j}</math> компонента с расширением убывает, а <math>\mathbf{k}\mathbf{k}</math> возрастает (Рис.1.2).
 
  
 +
На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.
 +
* В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависимости величин <math>p</math> и <math>q</math> от деформаций можно считать линейными.
 +
* Относительные корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
 +
* Относительная поперечная корреляция <math>\gamma</math> несколько меньше, чем относительная продольная <math>\beta</math>, что представляется разумным.
 +
* Значения относительных корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> сравнимы с единицей — перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. Есть основания полагать, что с увеличением числа частиц корреляции еще усилятся — ''необходимо указать, сколько частиц использовалось при расчете''. Желательно проверить влияние числа частиц на результат. На корреляции могут также оказывать влияния термостаты, баростаты и т.д.
  
[[Файл:uu_a___3D_Morse_epsion.png|400px|thumb|left|Рис. 1.1. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\epsilon</math>.]]
 
  
[[Файл:uu_a___3D_Morse_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.2. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+
Отметим, что согласно формуле <math>p = (1-\gamma)/(1-\beta)</math>, тензор <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> будет близок к шаровому (<math>p \approx 1</math>) в одном из двух случаев:
 +
* относительные корреляции малы: <math>|\beta|\ll1,\ |\gamma|\ll1</math>;
 +
* относительные корреляции близки: <math>\beta\approx\gamma</math>.
 +
В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от шаровой (<math>p \approx 1.4</math>).
  
 
<br style="clear: both" />
 
<br style="clear: both" />
  
==2D Треугольная==
+
== ГЦК решетка ==
  
Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точность <math>10^-3</math>.
+
Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность <math>10^{-3}</math>.
  
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3). 
 
  
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.4).
+
При отсутствии внешних напряжений зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).
  
[[Файл:uu_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|left|Рис. 1.3. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\epsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+
При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> зависят от гидростатической деформации линейно, при этом <math>\mathbf{j}\mathbf{j}</math> компонента с расширением убывает, а <math>\mathbf{k}\mathbf{k}</math> возрастает (Рис.1.2).
[[Файл:AA_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.4. Зависимость <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math> от <math>\epsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
 
  
  
=Тепловое расширение=
+
[[Файл:uu_a___3D_Morse_epsion.png|500px|thumb|left|Рис. 1.1. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\varepsilon</math>.]]
Для определения коэффициента теплового расширения использовалось два подхода: при постоянном объёме и постоянном давлении (с помощью баростата давление приближалось к нулю).
 
  
==ГЦК==
+
[[Файл:uu_a___3D_Morse_alfa.png|500px|thumb|center|Рис. 1.2. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
===Леннард-Джонс===
 
====Постоянный объём====
 
ГЦК кристалл 30x30x30 ГЦК ячеек (??? частиц), периодические граничные условия, релаксация системы в течении 10*Tp, Tp = T0p/200, полное время определения давления 20*Tp, время определения точек среднего 3*Tp. Температура системы от 1e-7*Tk, до 1.9e-6*Tk.
 
На первом шаге задаются начальные скорости согласно нормальному распределению, затем система релаксирует, и далее вычисляется давление на основе метода Кривцова-Кузькина.
 
  
Коэффициент теплового расширения определённый по первой точке: 0.127474, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.39%.
+
<br style="clear: both" />
  
Коэффициент теплового расширения определённый по наклону (Рис.1): 0.12749, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.38%.
+
== См. также ==
  
[[Файл:Graph2.png|400px|thumb|left|Рис. 1. Зависимость объёмной деформации от температуры. 1 - Значение определённое при усреденении по всему интервалу, 2 - усреднение по малым интервалам]]
+
* [[Тепловое расширение кристаллов (компьютерное моделирование)]]

Текущая версия на 14:56, 27 июля 2014

Расчеты: Панченко Артём

Треугольная кристаллическая решётка[править]

Рассматривается образец размерами 100x100 частиц, с периодическими граничными условиями, взаимодействие частиц описывается потенциалом Морзе с параметром [math]{\alpha}{a_0}=6[/math], учитывается взаимодействие с первой координационной сферой, начальная кинетическая энергия равна [math]{E_{kin}}=10^{-5}{D}[/math]. Изменение параметров оговорено отдельно.

Рассчитаны корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям, а затем усреднено по 10 рассчётам. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью [math]10^{-3}[/math].



Результаты расчёта с приведёнными выше параметрами представлены на Рис.1.1.

Размер системы выбран исходя из результатов представленных на Рис.1.2.

Из Рис.1.3, Рис.1.4, Рис.1.5, Рис.1.6 можно сделать вывод о слабой зависимости отношения продольных корреляций к дисперсии от [math]{E_{kin}}[/math], [math]{\alpha}{a_0}[/math], [math]{a_{cut}}[/math], [math]\varepsilon[/math] и таким образом это отношение является фактически константой.

Однако обнаружено влияние внешних напряжений (Рис.1.7) на отношение поперечной корреляции к продольной, таким образом мы можем сделать предположение, что это отношение зависит от внутренних напряжений.


Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от [math]{\alpha}{a_0}[/math] (Рис.1.3).

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом м (Рис.1.4).

Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 (А.М. Кривцов), данный анализ проведён по старым графикам, однако значения на графиках фактически не изменились.

Величина Значения Источник Комментарий
[math]\varepsilon[/math] -5% 0 5% Рис. 1.3 - 1.4 деформация
[math]p = \langle A_y A_y\rangle/\langle A_x A_x\rangle[/math] 1.48 1.42 1.36 Рис. 1.4 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной
[math]q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle[/math] 0.810 0.825 0.840 Рис. 1.3 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной
[math]\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle[/math] 0.716 0.706 0.692 расчет относительная продольная корреляция перемещений
[math]\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle[/math] 0.580 0.582 0.582 расчет относительная поперечная корреляция перемещений

Связь параметров [math]p,q[/math] и [math]\beta,\gamma[/math] определяется формулами

[math]p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.[/math]


На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.

  • В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависимости величин [math]p[/math] и [math]q[/math] от деформаций можно считать линейными.
  • Относительные корреляции [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
  • Относительная поперечная корреляция [math]\gamma[/math] несколько меньше, чем относительная продольная [math]\beta[/math], что представляется разумным.
  • Значения относительных корреляции [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] сравнимы с единицей — перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. Есть основания полагать, что с увеличением числа частиц корреляции еще усилятся — необходимо указать, сколько частиц использовалось при расчете. Желательно проверить влияние числа частиц на результат. На корреляции могут также оказывать влияния термостаты, баростаты и т.д.


Отметим, что согласно формуле [math]p = (1-\gamma)/(1-\beta)[/math], тензор [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] будет близок к шаровому ([math]p \approx 1[/math]) в одном из двух случаев:

  • относительные корреляции малы: [math]|\beta|\ll1,\ |\gamma|\ll1[/math];
  • относительные корреляции близки: [math]\beta\approx\gamma[/math].

В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] от шаровой ([math]p \approx 1.4[/math]).


ГЦК решетка[править]

Рассчитаны корреляции [math]\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность [math]10^{-3}[/math].


При отсутствии внешних напряжений зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).

При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] зависят от гидростатической деформации линейно, при этом [math]\mathbf{j}\mathbf{j}[/math] компонента с расширением убывает, а [math]\mathbf{k}\mathbf{k}[/math] возрастает (Рис.1.2).


Рис. 1.1. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]\varepsilon[/math].
Рис. 1.2. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]{\alpha}{a_0}[/math].


См. также[править]