Редактирование: Корреляции перемещений в кристаллах (компьютерное моделирование)

Расчеты: [[Панченко Артём]]

=Корреляция колебаний=
==ГЦК==

Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность <math>10^{-3}</math>.


При отсутствии внешних напряжений зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).

При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> зависят от гидростатической деформации линейно, при этом <math>\mathbf{j}\mathbf{j}</math> компонента с расширением убывает, а <math>\mathbf{k}\mathbf{k}</math> возрастает (Рис.1.2).


[[Файл:uu_a___3D_Morse_epsion.png|400px|thumb|left|Рис. 1.1. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\varepsilon</math>.]]

[[Файл:uu_a___3D_Morse_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.2. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]

<br style="clear: both" />

==2D Треугольная==

Рассчитаны корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью <math>10^{-3}</math>.

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3).  

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.4).  

[[Файл:uu_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|left|Рис. 1.3. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
[[Файл:AA_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.4. Зависимость <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]


Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 ([[А.М. Кривцов]]).

{| class="wikitable" 
! Величина
! colspan="3"| Значения	
! Источник
! Комментарий
|-
| <math>\varepsilon</math>
| -5% 
|  0 
| 5%	
| Рис. 1.3 - 1.4
| деформация
|-
| <math>p = \langle A_y A_y\rangle/\langle A_x A_x\rangle</math>
| 1.48 
| 1.42 
| 1.36	
| Рис. 1.4
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной 
|-
| <math>q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle</math>
| 0.810 
| 0.825 
| 0.830	
| Рис. 1.3
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной 
|-
| <math>\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle</math>
| 0.716 
| 0.706 
| 0.679	
| расчет
| относительная продольная корреляция перемещений
|-
| <math>\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle</math>
| 0.580 
| 0.582 
| 0.564	
| расчет
| относительная поперечная корреляция перемещений
|}

Связь параметров <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> определяется формулами

:<math>p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.</math>


На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.
* В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависмости <math>p</math> и <math>q</math> от деформаций можно считать линейными.
* Зависимость <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> от деформаций оказывается заметно нелинейной.
* В целом величины <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
* Относительная поперечная корреляция <math>\gamma</math> несколько меньше, чем относительная продольная <math>\beta</math>, что представляется разумным.
* Значения относительных корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> сравнимы с единицей, '''что странно'''. Получается, что перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. ''Не связано ли это с использованием термостата или какого-то другого вычислительного приема?''


Отметим, что согласно формуле <math>p = (1-\gamma)/(1-\beta)</math>, тензор <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> будет близок к шаровому (<math>p \approx 1</math>) в одном из двух случаев:
* Относительные корреляции малы: <math>|\beta|\ll1</math>, <math>|\gamma|\ll1</math>.
* Относительные корреляции близки: <math>\beta\approx\gamma</math>.
В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от шаровой (<math>p \approx 1.4</math>).

=Тепловое расширение=
Для определения коэффициента теплового расширения использовалось два подхода: при постоянном объёме и постоянном давлении (с помощью баростата давление приближалось к нулю).

==ГЦК==
===Леннард-Джонс===
====Постоянный объём====
ГЦК кристалл 30x30x30 ГЦК ячеек (??? частиц), периодические граничные условия, релаксация системы в течении 10*Tp, Tp = T0p/200, полное время определения давления 20*Tp, время определения точек среднего 3*Tp. Температура системы от 1e-7*Tk, до 1.9e-6*Tk.
На первом шаге задаются начальные скорости согласно нормальному распределению, затем система релаксирует, и далее вычисляется давление на основе метода Кривцова-Кузькина.

Коэффициент теплового расширения определённый по первой точке: 0.127474, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.39%.

Коэффициент теплового расширения определённый по наклону (Рис.1): 0.12749, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.38%.

[[Файл:Graph2.png|400px|thumb|left|Рис. 1. Зависимость объёмной деформации от температуры. 1 - Значение определённое при усреденении по всему интервалу, 2 - усреднение по малым интервалам]]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Расчеты: [[Панченко Артём]]
-== Треугольная кристаллическая решётка ==
+=Корреляция колебаний=
+==ГЦК==
-Рассматривается образец размерами 100x100 частиц, с периодическими граничными условиями, взаимодействие частиц описывается потенциалом Морзе с параметром <math>{\alpha}{a_0}=6</math>, учитывается взаимодействие с первой координационной сферой, начальная кинетическая энергия равна <math>{E_{kin}}=10^{-5}{D}</math>. Изменение параметров оговорено отдельно.
+Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность <math>10^{-3}</math>.
-* Проведено сравнение с результатами экспериментов по рассеиванию электронов: [[media:Correlation effects among thermal displacements of atoms.pdf|T. Sakuma et al., Correlation effects among thermal displacements of atoms in Vse by diffuse neutron scattering measurement // J Thermal Anal Calorim, 99, 173-176 (2010)]]
-* Результаты аналитического расчёта корреляции из статфизики приведены в статье: [[media:On the Interatomic Correlations and Mean Square....pdf|C. G. Rodrigues, M. F. Pascual and V. I. Zubovy, On the Interatomic Correlations and Mean Square Relative Atomic Displacements in an Anharmonic BCC Crystal // Brazilian Journal of Physics, vol. 27, no. 4, december, 1997]]
+При отсутствии внешних напряжений зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).
-Рассчитаны корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям, а затем усреднено по 10 рассчётам. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью <math>10^{-3}</math>.
+При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> зависят от гидростатической деформации линейно, при этом <math>\mathbf{j}\mathbf{j}</math> компонента с расширением убывает, а <math>\mathbf{k}\mathbf{k}</math> возрастает (Рис.1.2).
-<gallery widths=500px heights=330px perrow = 2>
-Файл:uu_a___2D_Morse.png|Рис. 1.1. Зависимость диагональных компонент тензора <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от номера расстояния.
-Файл:AA_a_2D_Morse_systemsizeXdY.png|Рис. 1.2. Зависимость <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от размера системы при кратном соотношении количества слоёв.
-Файл:uu_a___3D_Morse_temperature.png|Рис. 1.3. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от начальной кинетической энергии.
-Файл:uu_a___2D_Morse_alfa.png|Рис. 1.4. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.
-Файл:uu_a___2D_Morse_epsion.png|Рис. 1.5. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math>.
-Файл:uu_a___2D_Morse_a_cut.png|Рис. 1.6. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от радиуса обрезания.
-Файл:uu_a___2D_Morse_YY_epsion.png|Рис. 1.7. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math>.
-</gallery>
-Результаты расчёта с приведёнными выше параметрами представлены на Рис.1.1.
+[[Файл:uu_a___3D_Morse_epsion.png|400px|thumb|left|Рис. 1.1. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\varepsilon</math>.]]
-Размер системы выбран исходя из результатов представленных на Рис.1.2.
+[[Файл:uu_a___3D_Morse_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.2. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+<br style="clear: both" />
-Из Рис.1.3, Рис.1.4, Рис.1.5, Рис.1.6 можно сделать вывод о слабой зависимости отношения продольных корреляций к дисперсии от <math>{E_{kin}}</math>, <math>{\alpha}{a_0}</math>, <math>{a_{cut}}</math>, <math>\varepsilon</math> и таким образом это отношение является фактически константой.
+==2D Треугольная==
-Однако обнаружено влияние внешних напряжений (Рис.1.7) на отношение поперечной корреляции к продольной, таким образом мы можем сделать предположение, что это отношение зависит от внутренних напряжений.
+Рассчитаны корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью <math>10^{-3}</math>.
+Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3).
+Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.4).
-Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3).
+[[Файл:uu_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|left|Рис. 1.3. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+[[Файл:AA_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.4. Зависимость <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
-Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом м (Рис.1.4).
-Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 ([[А.М. Кривцов]]), данный анализ проведён по старым графикам, однако значения на графиках фактически не изменились.
+Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 ([[А.М. Кривцов]]).
 {| class="wikitable"
@@ Строка 60: / Строка 55: @@
 | 0.810
 | 0.825
-| 0.840
+| 0.830
 | Рис. 1.3
 | отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной
@@ Строка 67: / Строка 62: @@
 | 0.716
 | 0.706
-| 0.692
+| 0.679
 | расчет
 | относительная продольная корреляция перемещений
@@ Строка 74: / Строка 69: @@
 | 0.580
 | 0.582
-| 0.582
+| 0.564
 | расчет
 | относительная поперечная корреляция перемещений
@@ Строка 85: / Строка 80: @@
 На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.
-* В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависимости величин <math>p</math> и <math>q</math> от деформаций можно считать линейными.
+* В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависмости <math>p</math> и <math>q</math> от деформаций можно считать линейными.
-* Относительные корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
+* Зависимость <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> от деформаций оказывается заметно нелинейной.
+* В целом величины <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
 * Относительная поперечная корреляция <math>\gamma</math> несколько меньше, чем относительная продольная <math>\beta</math>, что представляется разумным.
-* Значения относительных корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> сравнимы с единицей — перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. Есть основания полагать, что с увеличением числа частиц корреляции еще усилятся — ''необходимо указать, сколько частиц использовалось при расчете''. Желательно проверить влияние числа частиц на результат. На корреляции могут также оказывать влияния термостаты, баростаты и т.д.
+* Значения относительных корреляции <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> сравнимы с единицей, '''что странно'''. Получается, что перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. ''Не связано ли это с использованием термостата или какого-то другого вычислительного приема?''
 Отметим, что согласно формуле <math>p = (1-\gamma)/(1-\beta)</math>, тензор <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> будет близок к шаровому (<math>p \approx 1</math>) в одном из двух случаев:
-* относительные корреляции малы: <math>|\beta|\ll1,\ |\gamma|\ll1</math>;
+* Относительные корреляции малы: <math>|\beta|\ll1</math>, <math>|\gamma|\ll1</math>.
-* относительные корреляции близки: <math>\beta\approx\gamma</math>.
+* Относительные корреляции близки: <math>\beta\approx\gamma</math>.
 В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от шаровой (<math>p \approx 1.4</math>).
-<br style="clear: both" />
+=Тепловое расширение=
+Для определения коэффициента теплового расширения использовалось два подхода: при постоянном объёме и постоянном давлении (с помощью баростата давление приближалось к нулю).
-== ГЦК решетка ==
+==ГЦК==
+===Леннард-Джонс===
+====Постоянный объём====
+ГЦК кристалл 30x30x30 ГЦК ячеек (??? частиц), периодические граничные условия, релаксация системы в течении 10*Tp, Tp = T0p/200, полное время определения давления 20*Tp, время определения точек среднего 3*Tp. Температура системы от 1e-7*Tk, до 1.9e-6*Tk.
+На первом шаге задаются начальные скорости согласно нормальному распределению, затем система релаксирует, и далее вычисляется давление на основе метода Кривцова-Кузькина.
-Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность <math>10^{-3}</math>.
+Коэффициент теплового расширения определённый по первой точке: 0.127474, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.39%.
-При отсутствии внешних напряжений зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).
-При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> зависят от гидростатической деформации линейно, при этом <math>\mathbf{j}\mathbf{j}</math> компонента с расширением убывает, а <math>\mathbf{k}\mathbf{k}</math> возрастает (Рис.1.2).
-[[Файл:uu_a___3D_Morse_epsion.png|500px|thumb|left|Рис. 1.1. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\varepsilon</math>.]]
-[[Файл:uu_a___3D_Morse_alfa.png|500px|thumb|center|Рис. 1.2. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
-<br style="clear: both" />
-== См. также ==
+Коэффициент теплового расширения определённый по наклону (Рис.1): 0.12749, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.38%.
-* [[Тепловое расширение кристаллов (компьютерное моделирование)]]
+[[Файл:Graph2.png|400px|thumb|left|Рис. 1. Зависимость объёмной деформации от температуры. 1 - Значение определённое при усреденении по всему интервалу, 2 - усреднение по малым интервалам]]