Колебания одномерной цепочки

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 16:02, 4 февраля 2019; Loban9614 (обсуждение | вклад) (Постановка задачи)

Перейти к: навигация, поиск
Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Колебания одномерной цепочки

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Лобанов Илья

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи

Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц, при условии, что взаимодействие задается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

Период одного колебания: [math] {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} [/math]

Решение задачи

Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.

[math] F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right]. [/math]

Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:

В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.

Анализ результатов

График перемещений частиц
График, на котором видно разрыв связей между частицами при увеличении скорости в 20 раз


График изменения энергии в системе


См. также