Колебания одномерной цепочки — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Решение задачи)
(Решение задачи)
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 15: Строка 15:
  
 
===Решение задачи===
 
===Решение задачи===
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_{n} </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math> . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
+
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_{n} </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math> . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
  
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.  
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.  
Строка 21: Строка 21:
 
F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right].
 
F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right].
 
</math>
 
</math>
Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.  
+
Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.  
  
 
::<math>
 
::<math>
m\ddot{r}=-\nablaП
+
m\ddot{r}_{i}=-\nablaП_{i}
 
</math>
 
</math>
  
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
+
В качестве начальных условий имеем растянутую цепочку,перемещения всех частиц в начальный момент времени равны 1,11.
  
===Анализ результатов===
+
===Результаты===
  
[[File:gifk.gif|framed|center|График перемещений частиц]]
+
[[File:Webp.net-gifmaker_(5).gif]]
 
 
 
 
[[File:Output fgKWju.gif|framed|center|График перемещений частиц]]
 
 
 
 
 
[[File:energy12.jpg|framed|График изменения энергии в системе]]
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 02:25, 1 марта 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Колебания одномерной цепочки

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Лобанов Илья

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц, при условии, что взаимодействие задается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

Период одного колебания: [math] {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} [/math]

Решение задачи[править]

Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома [math] u_{n} [/math], а атома, отстоящего от него на p узлов, [math] u_{n+p} [/math] . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.

[math] F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right]. [/math]

Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.

[math] m\ddot{r}_{i}=-\nablaП_{i} [/math]

В качестве начальных условий имеем растянутую цепочку,перемещения всех частиц в начальный момент времени равны 1,11.

Результаты[править]

Webp.net-gifmaker (5).gif

См. также[править]