Редактирование: Колебания одномерной цепочки

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Колебания одномерной цепочки''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Лобанов Илья]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===
Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц, при условии, что взаимодействие задается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

Период одного колебания: <math> {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} </math>

===Решение задачи===
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_{n} </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math> . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С. 
::<math>
F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right].
</math>
Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. 

::<math>
m\ddot{r}_{i}=-\nablaП_{i}
</math>

В качестве начальных условий имеем растянутую цепочку,перемещения всех частиц в начальный момент времени равны 1,11.

===Результаты===

[[File:Webp.net-gifmaker_(5).gif]]

== См. также ==

*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]