Редактирование: Квазиодномерный кристалл

[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] > [[Одномерный кристалл]] > '''Квазиодномерный кристалл'''

== Определение ==

В настоящей статье '''квазиодномерным''' называется кристалл, в котором частицы упорядочены в одномерную цепочку, однако движение частиц осуществляется как в продольном, так и в поперечном направлении. Взаимодействия между частицами описываются парным потенциалом <math> \Pi </math>.

== Линейное тепловое расширение ==
[[Файл:Fig1_Gruneisen_color.png|400px|thumb|right| Зависимость коэффициента Грюнайзена (теплового расширения) при различных деформациях цепочки Леннарда-Джонса.]]     

При малых тепловых энергиях зависимость давления (средней продольной силы) от тепловой энергии обычно описывается уравнением состояния Ми-Грюнайзена:

<math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T,</math>

Параметр <math> \varGamma(V) </math>, называемый коэффициентом Грюнайзена, для квазиодномерной цепочки является суммой двух слагаемых, соответствующих продольным и поперечным колебаниям цепочки:

<math>
\varGamma =  \frac{\varGamma_{l}+\varGamma_{tr}}{2},\qquad \varGamma_{l} =  -\frac{{\Pi(A)}''' A}{2{\Pi(A)}''},\qquad
\varGamma_{tr} = -\frac{{\Pi(A)}'' A - {\Pi(A)}'}{2{\Pi(A)}'}
</math>

Для большинства потенциалов <math>{\Pi(A)}''' < 0</math>, поэтому продольные колебания вносят положительный вклад в давление, т.е. приводят к положительному тепловому расширению. Поперечные колебания, наоборот, приводят к отрицательному тепловому расширению. Данный эффект реализуется, например, в графене. 

Зависимость коэффициента Грюнайзена от деформации кристалла приведена на рисунке справа. Видно, что при изменении деформации коэффициент Грюнайзена меняется в пределах от  <math> -\infty</math> до <math> +\infty</math>.   

== Нелинейное, немонотонное тепловое расширение ==
При некоторых деформациях цепочки уравнение состояния Ми-Грюнайзена теряет смысл. При этом необходимо пользоваться нелинейными по тепловой энергии уравнениями состояниями. Для квазиодномерного кристалла такое уравнение состояния было получено в статье В.А. Кузькина и А.М. Кривцова. Уравнение имеет достаточно сложный вид, однако из него следует, что при малых тепловых энергиях зависимость давления от тепловой энергий имеет одну из следующих асимптотик:

* Растянутая цепочка
<math>
 p_T \approx \frac{\varGamma(A)}{A}E_T + \frac{B_2A-\varGamma(A)B_4}{16\Pi'^2A} E_T^2,\qquad A > a, 
</math>

* Нерастянутая цепочки
<math>
 p_T \sim \sqrt{E_T}, \qquad A=a, 
</math>

* Растяжение, соответствующее нулевому коэффициенту Грюнайзена
<math>
 p_T \sim E_T^2, \qquad A=A_{*}.
</math> 

Здесь  <math>B_2, B_4</math> - константы, зависящие от параметров потенциала,   <math>A_{*}</math> - среднее расстояние между частицами, при котором коэффициент Грюнайзена обращается в ноль. 

== Теплопроводность ==

В работе [Physical Review E, 82 (1), 2010] показано, что подобно другим одномерным системам квазиодномерный кристалл не описывается законом Фурье. Коэффициент теплопроводности зависит от числа частиц <math> \kappa \sim \sqrt{N} </math>.

== Публикации по теме ==
* [[Kuzkin V.A.]], [[ АК | Krivtsov A.M.]] '''Nonlinear positive/negative thermal expansion and equations of state of a chain with longitudinal and transverse vibrations'''. Physica Status Solidi b, 252, No. 7, pp. 1664–1670, 2015, DOI: 10.1002/pssb.201451618 ([[Медиа:Kuzkin_2015_pssb_201451618_paginated_offprint.pdf|'''download author's copy''']])
* Santhosh G., Deepak Kumar '''Anomalous transport and phonon renormalization in a chain with transverse and longitudinal vibrations'''. Physical Review E, 82 (1), 2010.

== Ссылки ==

* [[Перенос тепла в одномерных кристаллах]]
* [[Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах]]