Редактирование: КП: Эффект Магнуса

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2015]] > '''Эффект Магнуса''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Шварёв Николай]]

'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (23604)

'''Семестр:''' весна 2015

[[Файл:Magnus force.svg|thumb|Сила Магнуса<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Magnus_effect Эффект Магнуса]</ref>
|450px]]

== Аннотация проекта ==

Данный проект посвящен изучению [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%B0 эффекта Магнуса], возникающего в различных видах спорта, а также использующегося в баллистике, летательных аппаратах и [https://en.wikipedia.org/wiki/E-Ship_1 кораблях].В ходе работы над проектом были рассмотрены траектории полета мяча и цилиндра в зависимости от различных начальных параметров (радиуса, динамической вязкости среды, плотности воздуха, линейной и угловой скорости). Программа написана на языке [https://ru.wikipedia.org/wiki/JavaScript JavaScript] с использование библиотеки [https://threejs.org Three.js].

== Формулировка задачи ==
Построение и исследование математической модели движения объекта (в нашем случае - футбольного мяча и цилиндра), получение уравнения его движения и построение траектории в трехмерном пространстве с учётом различных внешних факторов, влияющих на движение, таких как сила сопротивления воздуха и эффект Магнуса.

== Общие сведения по теме ==

[[Файл:PiXHK4A.gif|thumb|Пример влияния силы Магнуса на траекторию движения мяча[http://imgur.com/r/gifts/piXHK4A]|450px]]
Эффект Магнуса - образование подъемной силы, действующей на вращающееся тело при обтекании его потоком жидкости или газа, широко использующейся в спорте, баллистике, летательных аппаратах и кораблях. <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%B0 Сила Магнуса]</ref>

Данный эффект возникает в результате разности давлений (в соответствии с законом Бернулли<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8 Уравнение Бернулли]</ref>) на стенках объекта из-за разных скоростей движения воздуха. Возникающий дисбаланс заставляет объект отклоняться.

== Решение ==

Силу сопротивления воздуха для мяча будем считать с помощью закона Стокса<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0 Закон Стокса]</ref>:

<big><math>\vec{F} = -6πrη\vec{v} </math></big> , где

<math>\vec{F}</math> - сила Стокса,

<math>r</math> - радиус мяча,

<math>η</math> - динамическая вязкость среды,

<math>\vec{v}</math> - скорость мяча.



Силу Магнуса примем вида<ref>[http://www.your-own-science.org/this-is-not-a-pipes Формула Силы Магнуса]</ref>:

<big><math>\vec{F} = 2Sρr\vec{u}\times\vec{ω} </math></big> , где

<math>\vec{F}</math> - сила Магнуса,

<math>S</math> - площадь действия силы,

<math>ρ</math> - плотность воздуха,

<math>r</math> - радиус,

<math>\vec{u}</math> - относительная скорость,

<math>\vec{ω}</math> - угловая скорость.


Применив метод Эйлера, получим формулы для нахождения скорости и координаты мяча:

<big><math>
\begin{cases}
v_x^{i+1} = v_x^i + (-6πrηv_x^i/m + 2Sρr(u_y^iω_z - u_z^iω_y)/m)\Delta t  \\
v_y^{i+1} = v_y^i + (-6πrηv_y^i/m + 2Sρr(u_z^iω_w - u_x^iω_z)/m)\Delta t  \\
v_z^{i+1} = v_z^i + (-6πrηv_z^i/m - g + 2Sρr(u_x^iω_y - u_y^iω_x)/m)\Delta t  \\
\end{cases}
</math></big>

<big><math>
\begin{cases}
x^{i+1} = x^i + v_x^i\Delta t
y^{i+1} = y^i + v_y^i\Delta t
z^{i+1} = z^i + v_z^i\Delta t
\end{cases}
</math></big>


Реализация алгоритма.

Возможности программы:
* поочередный запуск мяча и цилиндра,
* изменение параметров как в начале, так и во время полета,
* просмотр картинки в трехмерном изображении с помощью мыши
* сброс всех данных до начальных при нажатии кнопки "Reload"

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Shvarev/4.html |width=1100 |height=500 |border=0 }}


<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"4.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">

function main()
{
  var scene = new THREE.Scene();
  var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth/window.innerHeight, 0.1, 1000);
  var render = new THREE.WebGLRenderer();
  render.setClearColor(0x87CEFA, 1);
  render.setSize(800, 400);

  var axes = new THREE.AxisHelper(20);
  scene.add(axes);
  
  /**
  var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(105,68,50,1);
  */
  var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(1000,500,50,1);
  var planeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x068000});
  var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
  plane.position.x=0;
  plane.position.y=0;
  plane.position.z=-0.11;

  scene.add(plane);
  
  var ballGeometry = new THREE.SphereGeometry( 0.11, 16, 16 );
  var ballMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0xffff00,wireframe:true} );
  var ball = new THREE.Mesh( ballGeometry, ballMaterial );
  scene.add( ball );
  ball.castShadow = true;
  
  
  var cylinderGeometry = new THREE.CylinderGeometry(0.11,0.11,1,16);
  var cylinderMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xffff00});
  var cylinder = new THREE.Mesh(cylinderGeometry, cylinderMaterial)
  cylinder.position.x=0;
  cylinder.position.y=0;
  cylinder.position.z=0;
  scene.add(cylinder);
  cylinder.castShadow = true;
  
  var trajectoryGeometryB = new THREE.SphereGeometry(0.05, 16, 16);
  var trajectoryMaterialB = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0x000000,wireframe:true} );
  
  var trajectoryGeometryC = new THREE.SphereGeometry(0.05, 16, 16);
  var trajectoryMaterialC = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0xFF0000,wireframe:true} );
  
  var traMaterialB = new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xffffff});
  var traGeometryB = new THREE.CircleGeometry( 0.05, 16);        
  
  var traMaterialC = new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xFF9900});
  var traGeometryC = new THREE.CircleGeometry( 0.05, 16);        
  
  
  /**
  var cubeGeometry = new THREE.CubeGeometry(4,4,4);
  var cubeMesh = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xff0000, wireframe:false});
  var cube = new THREE.Mesh(cubeGeometry, cubeMesh);
  cube.position.x=-4;
  cube.position.y=3;
  cube.position.z=0;
  scene.add(cube);
  

  var cylinderGeometry = new THREE.CylinderGeometry(4,4,5,16);
  var cylinderMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xaaee00});
  var cylinder = new THREE.Mesh(cylinderGeometry, cylinderMaterial)
  cylinder.position.x=10;
  cylinder.position.y=10;
  cylinder.position.z=0;
  
  scene.add(cylinder);
  */
  
  
  
  
  var  spotLight = new THREE.SpotLight(0xffffff);
  spotLight.position.set(0,0,1500);
  scene.add(spotLight);
  

  spotLight.castShadow = true;

  
  
  render.shadowMapEnabled = true;
  plane.receiveShadow = true;
  
  /**
  cube.castShadow = true;
  cylinder.castShadow = true;
  */
  
  
  
  var a = new THREE.Vector3( 5, 2, -1 );
  var b = new THREE.Vector3( -1, 1, 1 );

  var c = new THREE.Vector3();
  c.crossVectors( a, b );
  
  camera.position.x= -30;
  camera.position.y= 0;
  camera.position.z= 60;
  camera.lookAt(c);
  
  camera.lookAt(scene.position);
  $("#webGL").append(render.domElement);
  
  
  
  var controls = new function() {
    this.WindPowerX = 0;
    this.WindPowerY = 0;
    this.WindPowerZ = 0;
    this.Mass = 0.45;
    this.Radius = 0.11;
	this.Height = 0.22;
    this.Viscosity = 0.000178;
    this.AirDensity = 1.2754;
    this.g = 9.8
    this.Vx = 15;
    this.Vy = 0;
    this.Vz = 5;
    this.OmegaX = 0;
    this.OmegaY = 0;
    this.OmegaZ = -10;
  }
  var gui = new dat.GUI();
  gui.add(controls, 'WindPowerX',-10,10);
  gui.add(controls, 'WindPowerY',-10,10);
  gui.add(controls, 'WindPowerZ',-10,10);
  gui.add(controls, 'Mass',0.41,0.45);
  gui.add(controls, 'Radius',0.01,0.21);
  gui.add(controls, 'Height',0.1, 1);
  gui.add(controls, 'Viscosity',0.00001, 0.001)
  gui.add(controls, 'AirDensity',1, 1000)
  gui.add(controls, 'g',0, 20)
  gui.add(controls, 'Vx',0,40);
  gui.add(controls, 'Vy',0,40);
  gui.add(controls, 'Vz',0,40);
  gui.add(controls, 'OmegaX',-10,10);
  gui.add(controls, 'OmegaY',-10,10);
  gui.add(controls, 'OmegaZ',-10,10);
  
  
  contr = new THREE.OrbitControls(camera);
  contr.dumping = 0.2;
  

  
  /**contr = new THREE.TrackballControls(camera);
  contr.rotateSpeed = 1.0;
  contr.zoomSpeed = 1.2;
  contr.panSpeed = 0.8;
  contr.noZoom = false;
  contr.noPan = false;
  contr.staticMoving = true;
  contr.dynamicDampingFactor = 0.3;
  contr.keys = [65,83,68];
  */
  
  
  /**window.addEventListener('resize',onWindowResize,false);
  function onWindowResize()
  {
    camera.aspect = window.innerWidth/window.innerHeight;
    camera.updateProjectionMatrix();
    render.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
  
    renderer();
  }
  */
  
  var stats = initStats();
  var step = 0;
  
  
  Vx = 0;
  Vy = 0;
  Vz = 0;
  Mass = 0;
  Viscosity = 0;
  dt = 0.01;
  Radius = 0;
  g = 0;
  WindX = 0;
  WindY = 0;
  WindZ = 0;
  AirDensity = 0;
  
  Height = 1;

  var VxB =controls.Vx;
  var VxC =controls.Vx;
  var VyB =controls.Vy;
  var VyC =controls.Vy;
  var VzB =controls.Vz;
  var VzC =controls.Vz;
  
  OmegaXB = controls.OmegaX;
  OmegaXC = controls.OmegaX;
  OmegaYB = controls.OmegaY;
  OmegaYC = controls.OmegaY;
  OmegaZB = controls.OmegaZ;
  OmegaZC = controls.OmegaZ;
    
  
  pppB = 0;
  pppC = 0;
  kkk = 0;
  
  function renderer()
  {
    /**
    cube.rotation.x+=controls.rotationSpeed;
    cube.rotation.y+=controls.rotationSpeed;
    cube.rotation.z+=controls.rotationSpeed;
    
    cylinder.position.x = 20+(10*(Math.cos(step)));
    cylinder.position.y = 2+(10*(Math.abs(Math.sin(step))));
    
    
    */
	
    if (pppB == 0) 
    {
      VxB+=controls.Vx;    
      VyB+=controls.Vy;
      VzB+=controls.Vz;
      WindX = controls.WindPowerX;
      WindY = controls.WindPowerY;
      WindZ = controls.WindPowerZ;
      
      OmegaXB = controls.OmegaX;
      OmegaYB = controls.OmegaY;
      OmegaZB = controls.OmegaZ;
    
            
      pppB = 1;
      
    }
    
    UxB = VxB - WindX;
    UyB = VyB - WindY;
    UzB = VzB - WindZ;

    Mass=controls.Mass;
    Radius=controls.Radius;
    Viscosity = controls.Viscosity;
    g = controls.g;
    
    AirDensity = controls.AirDensity;

    
    if (ball.position.z >= 0)
    {
	
	/**
      VxB += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VxB/Mass + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UyB*OmegaZB - UzB*OmegaYB)/Mass)*dt;
      VyB += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VyB/Mass + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UzB*OmegaXB - UxB*OmegaZB)/Mass )*dt;
      VzB += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VzB/Mass - g + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UxB*OmegaYB - UyB*OmegaXB)/Mass)*dt;
      
      OmegaXB += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaXB*Radius/Mass;
      OmegaYB += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaYB*Radius/Mass;
      OmegaZB += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaZB*Radius/Mass;
      
	  */
	  
	  VxB += (2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UyB*OmegaZB - UzB*OmegaYB)/Mass)*dt;
      VyB += (2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UzB*OmegaXB - UxB*OmegaZB)/Mass )*dt;
      VzB += (-g + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UxB*OmegaYB - UyB*OmegaXB)/Mass)*dt;
      
      ball.position.x += VxB*dt;
      ball.position.y += VyB*dt;
      ball.position.z += VzB*dt;
      
      
      
      ball.rotation.x += OmegaXB*dt;
      ball.rotation.y += OmegaYB*dt;
      ball.rotation.z += OmegaZB*dt;
      
      var trajectoryB = new THREE.Mesh(trajectoryGeometryB, trajectoryMaterialB);
      trajectoryB.position.x = ball.position.x;
      trajectoryB.position.y = ball.position.y;
      trajectoryB.position.z = ball.position.z;
      
      scene.add( trajectoryB );
      
      
      var traB = new THREE.Mesh( traGeometryB, traMaterialB);
      traB.position.x = ball.position.x;
      traB.position.y = ball.position.y;
      traB.position.z = 0;
      scene.add(traB);
      
      document.getElementById("td1").innerHTML = ball.position.y ;
      document.getElementById("td2").innerHTML = ball.position.x ;

    }
    
    requestAnimationFrame(renderer);
    
    contr.update();
    
    render.render(scene,camera);
    
    
    
    
  }
  
  	alpha1 = 0; 
	alpha2 = 0;
	alpha3 = 0;
	rot1 = 0;
	rot2 = 0;
	rot3 = 0;
  
  function renderer2()
  {
	   
	
	if (pppC == 0) 
	{
      VyC+=controls.Vy;
      VxC+=controls.Vx;    
      VzC+=controls.Vz;
      WindX = controls.WindPowerX;
      WindY = controls.WindPowerY; 
      WindZ = controls.WindPowerZ;
      
      OmegaXC = controls.OmegaX;
      OmegaYC = controls.OmegaY;
      OmegaZC = controls.OmegaZ;
    
            
      pppC = 1;
      
    }
    
    UxC = VxC - WindX;
    UyC = VyC - WindY;
    UzC = VzC - WindZ;

    Mass=controls.Mass;
    Radius=controls.Radius;
    Viscosity = controls.Viscosity;
    g = controls.g;
    Height = controls.Height;
    AirDensity = controls.AirDensity;
	
	var cylinderGeometry = new THREE.CylinderGeometry(2*Radius,2*Radius, Height, 16);
	
	cylinder.geometry = cylinderGeometry;


	if (cylinder.position.z >= 0)
	{
		/**
		VxC += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VxC/Mass + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UyC*OmegaZC - UzC*OmegaYC)/Mass)*dt;
		VyC += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VyC/Mass + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UzC*OmegaXC - UxC*OmegaZC)/Mass )*dt;
		VzC += (-6*Math.PI*Viscosity*Radius*VzC/Mass - g + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UxC*OmegaYC - UyC*OmegaXC)/Mass)*dt;
		
		OmegaXC += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaXC*Radius/Mass;
		OmegaYC += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaYC*Radius/Mass;
		OmegaZC += -6*Math.PI*Viscosity*Radius*OmegaZC*Radius/Mass;
		*/
		/**
		VxC += (2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UyC*OmegaZC - UzC*OmegaYC)/Mass)*dt;
		VyC += (2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UzC*OmegaXC - UxC*OmegaZC)/Mass )*dt;
		VzC += (-g + 2*Math.PI*AirDensity*Radius*Radius*Radius*(UxC*OmegaYC - UyC*OmegaXC)/Mass)*dt;
		*/
		

		alpha1 = (cylinder.rotation.x - rot1)/(2*Math.PI);
		alpha2 = (cylinder.rotation.y - rot2)/(2*Math.PI);
		alpha3 = (cylinder.rotation.z - rot3)/(2*Math.PI);
		
		rot1 = cylinder.rotation.x;
		rot2 = cylinder.rotation.y;
		rot3 = cylinder.rotation.z;
		
		VxC += (2*AirDensity*Radius*(2*Radius*Height*Math.cos(alpha1) + Math.PI*Radius*Radius*Math.sin(alpha1) )*(UyC*OmegaZC - UzC*OmegaYC)/Mass)*dt;
		VyC += (2*AirDensity*Radius*(2*Radius*Height*Math.sin(alpha2) + Math.PI*Radius*Radius*Math.cos(alpha2))*(UzC*OmegaXC - UxC*OmegaZC)/Mass )*dt;
		VzC += (-g + 2*AirDensity*Radius*(2*Radius*Height*Math.cos(alpha3) + Math.PI*Radius*Radius*Math.sin(alpha3))*(UxC*OmegaYC - UyC*OmegaXC)/Mass)*dt;
		
		cylinder.position.x += VxC*dt;
		cylinder.position.y += VyC*dt;
		cylinder.position.z += VzC*dt;
			  
		cylinder.rotation.x += OmegaXC*dt;
		cylinder.rotation.y += OmegaYC*dt;
		cylinder.rotation.z += OmegaZC*dt;
		

		
		var trajectoryC = new THREE.Mesh(trajectoryGeometryC, trajectoryMaterialC);
		trajectoryC.position.x = cylinder.position.x;
		trajectoryC.position.y = cylinder.position.y;
		trajectoryC.position.z = cylinder.position.z;
      
		scene.add( trajectoryC );
      
		var traC = new THREE.Mesh( traGeometryC, traMaterialC);
		traC.position.x = cylinder.position.x;
		traC.position.y = cylinder.position.y;
		traC.position.z = 0;
		scene.add(traC);
		
		document.getElementById("td3").innerHTML = cylinder.position.y ;
		document.getElementById("td4").innerHTML = cylinder.position.x;
		
	}
	
	requestAnimationFrame(renderer2);
    
    contr.update();
    
    render.render(scene,camera);
	
  }
  
  this.start = renderer;
  this.start2 = renderer2;

  
  
}
function initStats()
{
  var stats = new Stats();
  stats.setMode(0);
  stats.domElement.style.position='absolute';
  stats.domElement.style.left = '0px';
  stats.domElement.style.top = '0px';
  $("#Stats").append(stats.domElement);
  return stats;
}



</syntaxhighlight>
</div>

== Обсуждение результатов и выводы ==

[[Файл:Balltrajectory2.png|thumb|Пример траектории мяча|450px]]

Разработанный алгоритм был реализован в среде программирования Javascript с использование библиотеки Three.js. Была построена траектория движения и произведены эксперименты, результаты которых находятся в таблице ниже:

Шар:

{| border="1"
 |-
 |<math>V_x</math>
 |<math>V_y</math>
 |<math>V_z</math>
 |<math>ω_x</math>
 |<math>ω_y</math>
 |<math>ω_z</math>
 |<math>m</math>
 |<math>r</math>
 |<math>Δ_y</math>
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.11
 |14.585
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.41
 |0.11
 |15.945
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.01
 |0.011
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -5
 |0.45
 |0.11
 |7.399
 |-
 |7.5
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.11
 |7.292
 |}

Цилиндр:

{| border="1"
 |-
 |<math>V_x</math>
 |<math>V_y</math>
 |<math>V_z</math>
 |<math>ω_x</math>
 |<math>ω_y</math>
 |<math>ω_z</math>
 |<math>m</math>
 |<math>r</math>
 |<math>h</math>
 |<math>Δ_y</math>
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.11
 |0.22
 |14.508
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.41
 |0.11
 |0.22
 |15.844
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.01
 |0.22
 |0.011
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.11
 |1
 |13.287
 |-
 |15
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -5
 |0.45
 |0.11
 |0.22
 |7.389
 |-
 |7.5
 |0
 |5
 |0
 |0
 | -10
 |0.45
 |0.11
 |0.22
 |7.254
 |}

где <math>V_x</math>, <math>V_y</math>, <math>V_z</math> - начальные линейные скорости, <math>ω_x</math>, <math>ω_y</math>, <math>ω_z</math> - начальные угловые скорости, <math>m</math> - масса объекта, <math>r</math> - радиус объекта, <math>h</math> - высота цилиндра, а <math>Δ_y</math> - полученное смещение по оси <math>y</math>.

'''Вывод:''' Исходя из численных данных, полученных после проведения экспериментов, можно сделать вывод, что относительное смещение зависит от угловой скорости, радиуса, массы и силы тяжести, но не зависит от линейной скорости. Например, при уменьшении угловой скорости в 2 раза следует уменьшение относительного отклонения в ~2 раза, а при уменьшении линейной скорости в 2 раза относительное отклонение остается таким же.


<br>
Скачать отчет: [[Медиа:CourseworkShvarevNikolay.doc|doc]].
<br>
Скачать презентацию: [[Медиа:CourseworkShvarevNikolay.pptx|pptx]].

== Ссылки по теме ==

{{примечания|refs = |close = }}

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ]]


[[Category: Студенческие проекты]]