КП: Тензор жесткости кристалла

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Тензор жесткости кристалла

---

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Ванюшкина Валентина

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Проект посвящен тензору жесткости кристаллов.

Дадим определение тензору жесткости: Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть представлена в виде: [math]W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math] где тензор C называют тензором жесткости материала.

Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором деформации ε: [math]\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math]

Постановка задачи

Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.

[math]C[/math] — тензор жесткости

[math]c[/math] — линейная жесткость каждой пружины

[math]n[/math] — количество пружин(узлов решетки)

[math]a[/math] — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.

[math]e_{i}[/math] — единичный направляющий вектор

Общие сведения по теме

Гранецентрированная кубическая решетка

Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.

Объемно центрированная решётка

Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубиче­ская ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряжен­ные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.

Кубическая решетка

Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.

Решение

Первый этап

Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cna} {2} E [/math]  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.

Второй этап

Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

[math] ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}[/math]

Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.

Обсуждение результатов и выводы

Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.

Ссылки по теме

• Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов

• Проект "Кристалл"

См. также

• Справочная информация
• Курсовые проекты 2012
• Курсовые проекты 2013