КП: Тензор жесткости кристалла — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Решение)
(Ссылки по теме)
 
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника)
Строка 15: Строка 15:
 
Дадим определение тензору жесткости:
 
Дадим определение тензору жесткости:
 
Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть
 
Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть
представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
+
представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
 
где тензор C называют тензором жесткости материала.
 
где тензор C называют тензором жесткости материала.
  
 
Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором
 
Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором
деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={  C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
+
деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={  ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
  
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
 
Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая).
 
Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая).
 
Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.
 
Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.
<math>C</math> -тензор жесткости
 
  
<math>c</math> - линейная жесткость каждой пружины
+
<math>C</math> — тензор жесткости
  
<math>n</math> - количество пружин(узлов решетки)
+
<math>c</math> — линейная жесткость каждой пружины
 +
 
 +
<math>n</math> количество пружин(узлов решетки)
 +
 
 +
<math>a</math> — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.
 +
 
 +
<math>e_{i}</math> — единичный направляющий вектор
  
 
== Общие сведения по теме ==  
 
== Общие сведения по теме ==  
Строка 55: Строка 60:
 
Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.
 
Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.
  
<math> ^2 C = \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
+
<math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
  
 
Результат:
 
Результат:
<math> ^2 C = \frac{cn} {2} E </math>  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.  
+
<math> ^2 C = \frac{cna} {2} E </math>  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.  
  
 
''Второй этап''
 
''Второй этап''
Строка 64: Строка 69:
 
Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)
 
Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)
  
<math> ^2 C = \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
+
<math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
  
<math> ^2 C = \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}</math>
+
<math> ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}</math>
  
 
Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math>
 
Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math>
 +
 
Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.
 
Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.
  
Строка 75: Строка 81:
  
 
== Ссылки по теме ==
 
== Ссылки по теме ==
 +
 +
* [[Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов]]
  
 
* [[Проект "Кристалл"]]
 
* [[Проект "Кристалл"]]

Текущая версия на 14:57, 28 мая 2013

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Тензор жесткости кристалла


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Ванюшкина Валентина

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта[править]

Проект посвящен тензору жесткости кристаллов.

Дадим определение тензору жесткости: Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть представлена в виде: [math]W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math] где тензор C называют тензором жесткости материала.

Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором деформации ε: [math]\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math]

Постановка задачи[править]

Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.

[math]C[/math] — тензор жесткости

[math]c[/math] — линейная жесткость каждой пружины

[math]n[/math] — количество пружин(узлов решетки)

[math]a[/math] — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.

[math]e_{i}[/math] — единичный направляющий вектор

Общие сведения по теме[править]

Гранецентрированная кубическая решетка

Yacheika GCK.gif

Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.


Объемно центрированная решётка

Yacheika OCK.gif

Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубиче­ская ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряжен­ные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.

Кубическая решетка

Yacheika CUBE.gif

Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.

Решение[править]

Первый этап

Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cna} {2} E [/math]  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.

Второй этап

Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

[math] ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}[/math]

Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.

Обсуждение результатов и выводы[править]

Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.

Ссылки по теме[править]

См. также[править]