КП: Прицельный бильярд — различия между версиями

Версия 16:10, 23 мая 2015

Стол для русского бильярда.

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Степанов Матвей

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Аннотация проекта

Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в бильярд. В ходе работы над проектом рассмотрен удар под названием "резка", написана программа, на языке JavaScript, моделирующая игровой процесс.

Формулировка задачи

- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
- Реализовать сложные комбинации при игре в Бильярд.

Общие сведения по теме

Бильярдный шар около угловой лузы.

Характерной особенностью всех бильярдных игр является передвижение шаров с помощью кия. Основные характерные особенности: шары, незначительно уступающие по размерам створу лузы (диаметр шара 68-68,5 мм., а вес около 285 г.) ширина створа угловой лузы 72-73 мм, средней лузы 82-83 мм).

При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.

Программа для игры в Бильярд

Ниже приведена программа( созданная совместно с Булдаковым Павлом на основании программы Динамика взаимодействующих частиц), в которой видно, что траектория разлета шаров схожа с расчетными траекториями полученными профессором Джимом Белк (рис.1). Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

рис.1.Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды.

Решение

Задача: Рассчитать скорость и угол направления удара, а так же возможные расположения шаров, при которых оба шара (рис.2) окажутся в верхних лузах.

Удар "резка".

На рис.2, один из шаров(биток) смещен с оси прямого удара, таким образом появляется резка. Нужно попасть битком в точку на прицельном шаре, от которой через математический центр прицельного шара до центра лузы проходит прямая линия. При малой резке эта точка на прицельном шаре еще видна, но по мере увеличения резки она становится практически невидимой.

Правило 90°: когда "биток" ударяет прицельный шар, скользя по сукну без переднего или заднего вращения, шары разлетаются под углом 90° друг к другу. Правило работает независимо от угла резки.

[math] v_{1},v_{2} [/math] - скорость "битка" до и после соударения.

[math] v_{2}' [/math] - скорость прицельного шара после соударения.

Из ЗСИ:

[math] v_{1} = v_{1}' + v_{2}'[/math] (1)

Из ЗСЭ:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + v_{2}' ^2[/math] (2)

Скалярное произведине ур-ния (1) самого на себя дает:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) + v_{2} '^2[/math] (3)

(3) - (2):

[math] 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) = 0 [/math], а это возможно, если [math] v_{1}' = 0 [/math](что соответствует прямому удару), или при [math] θ = 90° [/math]

Примечание :Вывод правила 90° основан на двух существенных допущениях: трение между шарами равно нулю и столкновение шаров – абсолютно упругое.

Будем считать, что шары однородные и совершенно сферической формы.

[math] θ_{1}, θ_{2} [/math] - углы отклонения первого и второго шаров после столкновения по отношению к направлению удара.[math] χ[/math] - угол поворота первого шара в системе центра инерции.

[math] θ_{1} =\frac{χ}{2} [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π - χ}{2} [/math]

[math] ú_{1} , ú_{2} [/math] - абсолютные величины скоростей шаров после столкновения.

[math] ú_{1} = \cos\left(\frac{θ}{2}\right) v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} = \sin\left(\frac{θ}{2}\right)v [/math] , [math]\qquad[/math]где [math] v = v_{2} - v_{1} [/math]

Рассмотрим частный случай (рис.2): [math] l_{1} = 560 [/math]мм. - расстояние от прицельного шара до верхней левой лузы, [math] l_{2} = 969 [/math]мм. - расстояние от битка до верхней правой лузы, в момент соприкосновения шаров, [math] l = 700[/math]мм. - расстояние между шарами в начальный момент времени.

[math] χ = \frac{π}{3}\ [/math]

[math]\Downarrow [/math]

[math] θ_{1} =\frac{π}{6}\ [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π}{3}\ [/math]

В таком случае, после соударения шаров, они приобретут скорости:

[math] ú_{1} =\frac{\sqrt3}{2}\ v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} =\frac{1}{2}\ v [/math] ,[math]\qquad[/math] где [math] v = v_{2} [/math], т.к. в нашем случае прицельный шар в начальный момент времени неподвижен.

В рассмотренном случае угол, под которым производится удар, по отношению к оси OX равен [math] \frac{π}{2}\ [/math]. В общем случае этот угол зависит от расположения битка.

Обсуждение результатов и выводы

Таким образом, в ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд, а так же смоделирован рассматриваемый удар, целью, которого являются оба шара. Были рассчитаны скорость и угол направления удара в рассматриваемом случае. Установлены возможные положения шаров, когда целью удара является один или оба шара (рис.3 и рис.4). А на рис.5 указана область расположения для прицельного шара, когда стоит задача загнать в верхние лузы оба шара.

Скачать отчет:
Скачать презентацию:

Ссылки по теме

• Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика

См. также

• Справочная информация
• Курсовые проекты ТМ